Primaths2 tirelire

Cette page, destinée à ceux des candidats au CRPE qui ne sont pas à l'aise avec les calculs relevant du programme du collège (fractions, résolutions d'équations, écritures de nombres sous forme de puissances…) expose quelques principes sur la façon d'aborder les calculs.

Ces principes peuvent sembler trop élémentaires ou trop généraux… à notre avis ils n'en sont pas moins essentiels.

D'autres pages viendront détailler les difficultés propres à chaque type de calcul.

 

 

Bannir la question "est-ce que j'ai le droit d'écrire ça ?"

Si vous vous demandez : ai-je le droit d'écrire ce qui suit?

conseils1

vous remettez la réponse à l'autorité compétente (prof de math, juge, dieu ?). De plus, si on prend la question au sérieux, la réponse est oui : la loi française n'interdit pas d'écrire cette égalité.

 

Si en revanche vous vous demandes si ce qui est écrit ci-dessus est vrai, la réponse est beaucoup moins évidente, et c'est précisément cette difficulté qui est source de progrès.

La question ne portant plus sur le droit, mais sur la vérité d'une affirmation, on peut envisager des moyens de savoir par soi même si cette affirmation est vraie ou fausse.

On peut par exemple :

Calculer à la calculatrice le nombre de gauche de l'égalité puis celui de droite : sont-ils égaux selon la machine ?

Chercher un exemple plus simple d'application de la même règle et la tester. On peut par exemple remplacer les exposants 20 par des exposants 2, les nombres en jeu sont alors petits et il est possible de calculer mentalement les deux membres de l'égalité 3 à la puissance 2 (on dit aussi "au carré"), c'est 9

6 à la puissance 2 (on dit aussi "au carré"), c'est 36

Comme 9 + 9 n'est pas égal à 36, l'égalité est fausse avec des exposants 2, ce qui ne prouve rien pour l'exposant 20, mais n'incite pas à penser que cela pourrait être vrai.

 

Ces actions ne sont qu'un début.

Si on constate que l'égalité à laquelle on songe est fausse, cela ne donne pas d'autres pistes pour le problème qu'on cherche à résoudre, il faut poursuivre la recherche par d'autres voies

Si on constate que l'égalité à laquelle on songe est vraie, on peut remplacer un des deux nombres de l’égalité par l’autre dans le travail en cours… en espérant que cela nous rapprochera de l'objectif.

 

Quoi qu'il en soit, remplacer systématiquement "ai-je le droit ?" par "est-ce vrai ?" est une étape indispensable… mais plus difficile qu'elle n'en a l'air pour qui veut progresser en mathématiques.

En réalité, ce changement marque l'entrée dans les mathématiques. La personne qui se pose la question "ai-je le droit d'écrire ceci ?" peut donner l'impression qu'elle fait des mathématiques, il est même probable qu'elle croit en faire, mais ce n'est pas le cas.

 

Remplacer les prescriptions par des affirmations.

En fait ce point est très proche du précédent : votre seule obligation est de chercher à ne dire que des choses vraies (ce qui n'empêche évidemment pas de commettre des erreurs).

Vous n'êtes pas plus obligé d'effectuer telle ou telle transformation d'écriture que vous n'avez à en demander l'autorisation.

 

Prenons pour exemple la fameuse priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction. On peut voir cette règle (qui est une convention d'écriture) de plusieurs façons. En voici deux formulations :

 

Dans un calcul qui comporte ces trois opérations, il faut effectuer les multiplications en premier.

ou bien

Un calcul qui comporte ces trois opérations doit s'interpréter comme une suite d'addition et de soustractions. Quand il y a un signe plus, il dit d'ajouter ce qui est écrit jusqu'au signe plus ou moins suivant.

 

Supposons qu'on veuille effectuer le calcul du nombre A ci-dessous : 428 x 341 + 125 x 832 - 214 x 682

La première formulation conduit à effectuer immédiatement les trois multiplications … ce faisant on s'interdit de méditer le calcul quelques instants pour se demander s'il n'y aurait pas plus judicieux.

La seconde formulation laisse au contraire le champ libre à la réflexion.

Voici une façon d'effectuer le calcul qui s'appuie sur les remarques suivantes : 428 et 214 attirent notre œil : l'un est le double de l'autre. N'y aurait-il pas moyen d'en tirer profit… d'autant que 682 est aussi le double de 341 ? En transformant l'écriture du premier et du troisième terme, on montre qu'ils sont égaux (ils sont tous les deux égaux à 214 x 2 x 341) et donc qu'ils s'annulent.

125 est un nombre particulier… c'est la moitié de 250, donc le quart de 500 et le huitième de 1000. Comme on voit "du 8" dans 832 on peut en tirer profit pour calculer efficacement 125 x 832

Le calcul peut alors s'effectuer ainsi :

A = 214 x 2 x 341 + 125 x 8 x 104 - 214 x 2 x 341

A = 1000 x 104 = 104000

On n'est jamais certain de trouver une méthode économique de calcul, qui n'existe pas toujours, et l'exemple ci-dessus a été inventé pour les besoins de la cause. Cependant, raisonner en terme de prescription interdit de trouver une méthode économique de calcul quand elle existe.

Une prescription particulièrement fâcheuse, dont il faut se débarrasser en urgence, est celle qui enjoint de "passer des choses de l'autre côté" pour résoudre une équation. Non seulement elle ne conduit pas toujours aux méthodes efficaces, mais elle provoque de nombreuses erreurs.

 

 

 

Distinguer ce qui est vrai par convention de ce qui est vrai par nécessité.

conseils2

L'égalité ci-dessus résulte d'une convention : les mathématiciens ont décidé que la partie de gauche de l'égalité était une façon de résumer les multiplications de droites. Il n'y a rien d'autre à faire que de mémoriser la signification de l'écriture avec un exposant.

En revanche, quand on connait cette signification, beaucoup d'autres égalités peuvent être trouvées en s'appuyant sur cette connaissance et un peu de réflexion.

3 à la puissance 10 signifie 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

Si je sais par ailleurs que dans un calcul ou il n'y a que des multiplications, le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les multiplications, 3 à la puissance 10 est aussi égal à

(3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)

En utilisant une nouvelle fois la convention d'écriture sous forme de puissance, on en déduit que

conseils4

On reconnait là un exemple d'application d'une règle enseignée au collège concernant les écritures sous forme de puissance… mais il n'y a rien de conventionnel dans cette règle : si on accepte la signification (conventionnelle) de l'écriture sous forme de puissance on est nécessairement amené à accepter la vérité de l'égalité ci-dessus.

Formaliser trop vite cette constatation sous forme d'une règle masque la différence de nature entre convention et nécessité.

Il est préférable de retrouver autant de fois que nécessaire l'égalité en revenant au sens des écritures.

Seuls ceux qui ont un usage fréquent de ce type de calcul ont intérêt à formuler une règle générale pour ce type de situation.

 

De la même façon, dans le domaine des fractions, il faut bien sûr apprendre ce que signifie 3/5 : c'est une convention d'écriture.

En s'appuyant sur le sens de cette écriture, le fait que 3/5 + 3/5 = 6/5 est une nécessité : il suffit de raisonner avec le sens élémentaire de la fraction (les parts…) pour s'en convaincre : trois parts d'un certain type (des cinquièmes) plus trois parts du même genre, ça fait six parts, toujours du même type.

 

Toutes les questions sont légitimes ; les affirmations doivent être soumises à une critique féroce.

Reprenons l'exemple des écritures sous forme de puissances.

Se demander si l'écriture suivante est vraie est une excellente question,

conseils3

On peut même souhaiter vivement que ce soit vrai parce que ça simplifierait bigrement le calcul en cours. Malheureusement, ce n'est pas parce qu'on souhaite qu'une chose soit vraie qu'elle l'est.

On s'abstiendra d'écrire cette égalité ailleurs que sur un brouillon, d'usage strictement personnel, afin de la tester. C'est seulement quand on aura (éventuellement) acquis une forte conviction que cette écriture dit la vérité qu'on l'écrira sur une copie.

Une petite fable nous semble bien illustrer cette exigence :

On m'aborde dans la rue pour me demander comment se rendre au théâtre de Rezé.

Si je sais où se situe le théâtre de Rezé, je ferme les yeux, j'essaye d'imaginer le trajet puis j'annonce : "vous prenez la deuxième rue à gauche, avancez tout droit pendant environ un kilomètre puis tournez à droite au niveau de la boulangerie".

Il se peut que l'itinéraire annoncé soit faux (en réalité c'est la troisième à gauche qu'il faut prendre, j'ai oublié une rue) j'ai alors commis une erreur, ce qui arrive aux meilleurs d'entre nous.

Si je ne sais pas où est ce théâtre, je n'imite pas le cas précédent en fermant les yeux et en énonçant un itinéraire fantaisiste, je me contente de dire que je ne sais pas.

Proposer un itinéraire auquel je ne crois pas moi-même ne serait pas une erreur, mais une ânerie.

 

Revenons à l'égalité :

conseils3a

Si j'écris cette égalité après avoir réfléchi et trouvé une raison forte de penser qu'elle est vraie, je fais des mathématiques. Il se peut que je commette une erreur. C'est ce type situation qu'on évoque par l'expression "droit à l'erreur".

Si j'écris la même égalité juste parce que ça m'arrange (ou parce qu'avant-hier on a écrit dans un autre problème quelque chose qui ressemblait à ça), sans qu'aucune raison forte m'ait conduit à penser que cette égalité est vraie, je ne fais pas de mathématiques.

Remarque :

Il se trouve que l'égalité est vraie, ce qui ne change rien aux considérations précédentes.

 

Alterner vue locale et vue globale

Utilisons à nouveau les puissances de nombres entiers pour illustrer ce conseil et imaginons que nous souhaitons simplifier l'écriture de ce nombre :

conseils5

Un premier regard sur le nombre montre qu'il comporte deux parties qui se ressemblent et dont l'interprétation n'est pas évidente. Que vaut la partie du nombre située avant le signe + ?

S'agit-il de 15 x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 ou bien de 3 fois (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5)

Nous sommes là dans le domaine de la convention : aucun raisonnement ne permet de trancher, il faut savoir que la deuxième interprétation est la bonne : l'exposant 6 ne s'applique qu'au nombre au-dessus duquel il est écrit. Pour désigner le nombre 15 x 15 x 15 x 15 x 15, il faudrait remplacer 3 x 5 par 15 ou bien mettre 3 X 5 entre parenthèses.

Ceci étant éclairci, il est maintenant utile de regarder le nombre dans son ensemble :

Il a la même structure que 3 x 100 + 2 x 100

Or il y a une simplification évidente de l'écriture de 3 x 100 + 2 x 100 , qui est égale à 5 x 100.

Même avec peu de souvenirs des maths du collège, on peut acquérir un fort degré de conviction de cette égalité en revenant au sens de la multiplication vue comme une addition réitérée : 3 x 100 c'est 3 fois 100, c'est-à-dire 100 + 100 + 100 ; 2 x 100 c'est 100 + 100 en ajoutant les deux, on obtient 100 + 100 + 100 + 100 + 100 c'est-à-dire 5 x 100.

L'important dans ce qui précède est que ce que nous venons de faire avec 100 se ferait tout aussi bien si on partait de 3 x 7 + 2 x 7 …ou avec le nombre qui nous intéresse.

Pour cette étape, c'est la structure d'ensemble du calcul qui importe, il n'est absolument pas nécessaire de penser à ce que signifie 5 à la puissance 6 . Il faut seulement s'assurer qu'on a bien le même nombre dans les deux parties : 3 trucs plus 2 trucs c'est 5 trucs, mais 3 trucs plus 2 machins ce n'est ni 5 trucs ni 5 machins.

 

on a maintenant établi que l'égalité ci-dessous est vraie :

conseils6

Peut-on simplifier encore cette écriture ?

Changeons de point de vue, intéressons-nous à la signification de 5 à la puissance 6

Si on remplace 5 à la puissance 6 par 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 dans l'écriture du nombre (la forme située à droite du signe égal) on obtient :

5 x ( 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 ).

Les parenthèses sont là que pour rappeler que certains 5 viennent de (5 à la puissance 6), mais elles ne modifient en rien la valeur du nombre : il n'y a que des multiplications, on peut donc les effectuer dans n'importe quel ordre : l'ajout ou la suppression de parenthèses ne changera pas la valeur du nombre.

On en conclut que :

conseils7

Cette simplification ne pouvait pas être trouvée sans un aller-retour entre une vision globale de l'expression et une vision locale analogue à celle qui vient d'être décrite.

 

 

Cette page sera progressivement complétée par des conseils ou des exercices corrigés sur :

Le calcul sur les puissances de nombres entiers (rare au CRPE mais très formateur pour trouver ou retrouver de bonnes habitudes de calcul).

Les fractions

Les résolutions d'équations et de systèmes d'équations.