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On peut rencontrer au CRPE des systèmes de deux équations à deux inconnues.

Avant de donner quelques indications quant à leur résolution, distinguons deux cas :

• Si la résolution du système d'équations est explicitement demandée par l'énoncé, aucune stratégie de contournement n'est possible.

• Si le système est issu d'un problème que vous avez mis en équation, il peut dans bien des cas être évité. Par exemple, si le problème parle d'une automobile dont la vitesse (en km/h) est triple de celle d'un cycliste, il vous est possible de nommer V la vitesse de l'automobile et v celle du cycliste mais vous pouvez aussi décider d'appeler V la vitesse de l'automobile et V/3 celle du cycliste, ou encore v la vitesse du cycliste et 3v celle de l'automobile. Dans les deux derniers cas, vous n'avez qu'une inconnue au lieu de deux.

Vous trouverez ici des conseils sur la façon de traduire un problème par une équation et ici sur la résolution d'une équation du premier degré.

 

La méthode " par substitution "

Cette méthode est particulièrement indiquée quand l'une des deux équations constituant le système est très simple.

Sur l'exemple ci-contre, le nombre y et le nombre 2x sont égaux, ce qui signifie qu'il s'agit du même nombre désigné de deux façons différentes (de même que "Jacques", "Monsieur Martin" et "mon prof de maths" peuvent être trois désignation différentes de la même personne).

On peut décider d'utiliser 2x à la place de y ou y à la place de 2x dans n'importe quelle partie du calcul.

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Si on décide de remplacer y par 2x dans la deuxième équation du système, on obtient l'équation ci-contre… laquelle permet de trouver facilement la valeur de x.

Si on préfère remplacer 2x par y (en remarquant que 4x, c'est le double de 2x, c'est donc le double de y) on obtient cette nouvelle équation, qui permet de calculer facilement y.

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Utiliser succesivement les deux étapes que l'on vient d'indiquer n'est pas ce qui se fait de plus habile. Quand on a trouvé à l'aide de l'équation 4x+10x = 4 que x = 2/7, il est sans doute plus malin de déterminer y en se souvenant que c'est le double de x.

Ce simple exemple montre qu'il y a plusieurs façons de résoudre un même système d'équations…

Il n'est pas nécessaire de chercher systématiquement la méthode la plus rapide (surtout s'il faut beaucoup de temps pour la trouver).

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Dans ce système, aucune des deux équations n'est aussi simple que la première équation du système précédent, mais il ne faudrait pas changer grand chose à la deuxième pour qu'elle se présente sous la forme "y=......." ce qui nous fournirait une autre façon d'écrire le nombre y.

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Voilà qui est fait, il a suffi d'augmenter de 3 la valeur des nombres écrits de part et d'autre du signe = de la deuxième équation (et non de passer 3 à droite…cf page sur la résolution d'une équation).

Nous disposons maintenant d'une autre façon d'écrire le nombre y, nous pouvons donc l'utiliser dans la première équation : enlever le double de y c'est la même chose qu'enlever le double de ce nombre…qu'il faut placer entre parenthèses avant de simplifier l'écriture.

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Quand on aura déterminé la valeur de x à l'aide de l'équation précédente, on pourra utiliser cette valeur pour calculer y (en ajoutant 4 à la moitié de x comme le dit l'égalité  y = x/2+4  ).

On peut aussi, si l'on préfère, chercher à obtenir par substitution une équation comportant la seule inconnue y.

 

 

 

La méthode " par combinaison "

 

Pour être utilisable sans trop de risque d'erreur, cette méthode nécessite les deux équations soient écrites sous la forme "ax + by = c".

On peut faire un travail préalable de transformation des équations, afin de les mettre sous cette forme.

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Pour résoudre ce système d'équations par combinaison, nous allons modifier l'écriture des équations pour aboutir à un des deux cas décrits ci-dessous.

Premier cas

L'une des inconnues a le même coefficient dans les deux équations : ici, il y a 9x dans la première équation et également 9x dans la deuxième équation.

Comment est-on parvenu à ce résultat ?

En triplant la valeur de chacun des deux nombres égaux de la première équation.

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Comment poursuit-on ?

En comparant les nombres écrits dans les deux équations :

pour passer de 1 à 36 on ajoute 35

Pour passer de 9x -y à 9x + 6y, on ajoute 7y (un pour passer de -y à 0 les 6 autres pour passer de 0 à 6y)

Comme les nombres écrits à gauche et à droite sont les mêmes, les changements sont égaux :

7y = 35

Ce discours est résumé par les opérateurs écrits de part et d'autre du système d'équations.

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Deuxième cas

L'une des inconnues a des coefficients opposés dans les deux équations : ici, il y a 2y dans la première équation, il y a -2y dans la deuxième équation. 2 et -2 sont des nombres opposés.

Comment est-on parvenu à ce résultat ?

En doublant la valeur de chacun des deux nombres égaux de la deuxième équation.

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Comment poursuit-on ?

Si on raisonne comme précédemment, on trouve que pour ajouter 10 (en regardant les nombres de droite) il faut soustraire 15x et ajouter 4y (en regardant les nombres de gauche) ce qui ne peut pas se traduire par une équation simple.

En revanche, on peut utiliser le fait que deux nombres opposés ont pour somme zéro :

3 + (-3) = 0....…...-7 + 7 = 0…

et aussi, plus intéressant pour nous, 2y + (-2y) = 0

Si on décide d'ajouter les nombres 12 et 2, le résultat est le même si on les écrit sous cette forme (12 + 2) ou sous leur forme écrite à gauche dans les équations : (3x+2y) + (18x-2y)

Comme 2y + (-2y) = 0, sous cette dernière forme, il n'y a plus de y dans l'écriture du résultat, ce qui est exactement ce dont on a besoin :

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Il est toujours possible de se ramener à un des deux cas précédents

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Illustrons cette possibilité sur un exemple :

 

 

 

 

 

On peut obtenir un nombre opposé de x dans chacune des équations en multipliant par 5 les deux côtés de la première équation et par 7 les deux côtés de la deuxième équation, ce qui donne :

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Si on préfère obtenir un même nombre de y dans chaque équation, on peut évidemment multiplier les deux côtés de la première équation par 4 et ceux de la deuxième équation par 8…mais ce ne serait pas particulièrement adroit puisqu'il suffit de doubler les nombres de la deuxième équation :

Comment terminer la résolution du système ?

 

Il n'y a aucune règle systématique : on peut utiliser une substitution pour une inconnue et une combinaison pour l'autre, ou bien deux substitutions ou encore deux combinaisons.

Cependant, il est fréquent de déterminer la deuxième inconnue en se servant du résultat trouvé pour la première.

C'est particulièrement vrai si la valeur trouvée pour la première inconnue est un nombre très simple.

 

 

 

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