tirelire

Toutes les constructions de base à connaître pour le CRPE sont décrites ci-dessous en partant de la même idée : placer correctement dans la figure un losange que l'on construit à partir de ses côtés qui ont même longueur.

Mémoriser une propriété ne consiste pas à retenir une suite d'actions (tracer le cercle de centre machin puis…) encore moins une suite de gestes (placer la pointe du compas sur…) mais à retenir la façon correcte de placer le losange.

On verra après chaque construction que si l'utilisation du losange est possible, elle n'est pas indispensable. Des variantes utilisant un "cerf-volant" ou un parallélogramme sont plus pratiques dans certaines situations.

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Construction du milieu d'un segment ou de sa médiatrice.

 

Les diagonales d'un losange ont le même milieu et sont perpendiculaires. Par conséquent, en traçant le losange rouge on obtiendra à la fois la médiatrice de [AB] (c'est la diagonale verte) et le milieu de [AB].

 

Réalisation à la règle et au compas :

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Assouplissement de la méthode :

on obtient aussi la médiatrice et le milieu de [AB] en utilisant deux triangles isocèles qui ne forment pas un losange comme ceci :

Construction de la perpendiculaire à une droite passant par un point extérieur à la droite.

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Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. Par conséquent, en traçant le losange rouge on obtiendra une perpendiculaire à d passant par A.

 

 

 

 

 

Réalisation à la règle et au compas :

 

Remarque : cette construction fournit aussi le symétrique de A par rapport à la droite d.

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Assouplissements de la méthode :

si on remplace le losange par un "cerf volant", on obtient encore une perpendiculaire, et dans certains cas le symétrique de A, selon la disposition du "cerf-volant".

En effet, les diagonales du cerf-volant sont perpendiculaires, mais leur point d'intersection est le milieu de l'une d'entre-elles seulement. Autrement dit, une seule diagonale est un axe de symétrie.

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Construction de la perpendiculaire à une droite passant par un point de cette droite.

 

Rien de bien original, on utilise à nouveau le fait que les diagonales du losange sont perpendiculaires, mais on construit d'abord les deux sommets situés sur la droite donnée.

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Réalisation à la règle et au compas :

Assouplissements de la méthode :

attention, le cerf-volant de gauche donne une construction correcte, celui de droite permet d'obtenir une perpendiculaire à la droite donnée, mais qui ne passe pas par A…ou seulement par hasard.

Cependant, l'assouplissement principal est le suivant : un triangle isocèle suffit (autrement dit un demi-losange).

Sur la figure de gauche, la droite qui passe par A et le sommet principal d'un des deux triangles isocèles convient.

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Une autre méthode, facile à tracer et à justifier, mais peu classique et pour laquelle l'image mentale du losange n'aide en rien.

Le point O est arbitraire.

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Construction de la paralllèle à une droite passant par un point extérieur à cette droite.

On utilise cette fois le fait que les côtés du losange sont parallèles. la position du losange est un peu plus difficile à voir.

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Réalisation à la règle et au compas :

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Version fausse très fréquente, ça ressemble à la précédente mais ça ne vaut pas un pet de lapin. Il suffit de coder les segments de même longueur pour voir qu'il n'y a aucun losange. Les droites semblent parallèles, mais c'est pur hasard.

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Assouplissement de la méthode :

Il n'est pas nécessaire de tracer un losange pour que les côtés opposés soient parallèles, un parallélogramme suffit.

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Construction de la bissectrice d'un angle.

Les diagonales du losange étant des axes de symétrie, elles partagent chaque angle en deux angles égaux, autrement dit ce sont les bissectrices des angles du losange.

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Réalisation à la règle et au compas :

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Assouplissement de la méthode :

Les constructions ci-dessus étant supposées connues, il n'est pas nécessaire de les détailler quand vous rédigez un problème de construction :

"Construire le milieu de [AB]"

"Construire la parallèle à (AB) passant par C"

sont des indications suffisantes dans un problème de construction.

Ce principe est évidemment à utiliser avec nuance, il est valable pour les constructions d'une certaine ampleur, mais si la question est "Ecrire un programme de construction de la parallèle à (AB) passant par C", la réponse attendue n'est pas "Construire la parallèle à (AB) passant par C".

Une autre construction qu'il vaut mieux connaître : la tangente à un cercle donné passant par un point donné :

Cette construction ne peut pas se ramener à un losange, et il vaut certainement mieux la détailler si on doit rédiger un programme de construction

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Voici ce qu'on veut obtenir.

 

Si on nomme P l'unique point commun au cercle et à sa tangente, le rayon [OP] est perpendiculaire à la droite (AP).

 

La construction attendue de la tangente est pour l'essentiel la construction du point P.

Pour que le triangle OAP soit rectangle en P, il faut et il suffit que P soit situé sur le cercle de diamètre [OA].

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Réalisation à la règle et au compas :

La construction met en évidence qu'il existe deux tangentes à un cercle passant par un point donné extérieur à ce cercle.

Si un candidat trace une "tangente" sans avoir construit un des points P, aucune différence n'est perceptible à l'œil, ni même avec des instruments entre sa droite et celle obtenue par construction.

La "tangente" ainsi tracée en "appuyant la règle sur le cercle" n'est pas satisfaisante parce qu'elle n'est pas clairement définie : si elle passe par un point situé sur le cercle à 0,1 mm de P1, c'est une droite différente bien qu'on ne puisse pas la distinguer visuellement de la vraie tangente.

Rappelons nous que les problèmes de construction ne sont pas des exercices de dessin mais des exercices de démonstration dont la réponse est demandée sous forme de dessin.

 

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