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Les problèmes de construction géométrique font partie des classiques du CRPE. Avant de donner quelques pistes pour les résoudre nous allons préciser la règle du jeu à travers un exemple.

La règle du jeu.

Supposons que l'on doive construire la parallèle à la droite d passant par le point A.

Parmi les trois réponses montrées ici, seule la deuxième serait acceptée.

En effet, dans la deuxième construction, si on considère que :

  • les arcs de cercles ont tous le même rayon
  • les centres sont ou bien le point A ou bien une intersection de cercle et de la droite donnée…

…alors on prouve facilement que A et les trois points construits sont les sommets d'un losange.

Dans un losange, les côtés opposés sont parallèles, donc la droite passant par A est parallèle à la droite donnée.

 

En d'autre termes, les problèmes de construction sont des problèmes de démonstration déguisés : la démonstration n'est pas exigée mais il doit y avoir une démonstration possible.

Le correcteur qui regarde ces productions ne vérifie pas avec ses outils le parallélisme des deux droites, il observe les arcs de cercle et se demande s'il est possible de justifier le parallélisme.

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Cette règle n'est pas sans causer quelques difficultés.

L'usage au CRPE semble être que le candidat, lorsqu'il est demandé de construire une figure, doit simplement produire le dessin et non sa justification… dans ces conditions, comment savoir si il est en mesure de fournir une justification ou si ses tracés résultent d'un coup de chance ?

 

C'est pourquoi il est recommandé de privilégier pour les étapes de la construction (tracer une parallèle, une perpendiculaire, un milieu…) des méthodes classiques rappelées ici : c'est l'assurance qu'elles seront reconnues par le correcteur.

Si pour une raison ou une autre on n'utilise pas les constructions classiques, il est prudent, même si ce n'est pas exigé, de donner quelques indications.

La construction ci dessous est correcte. DE = BC et les arcs tracés en rouge ont tous le même rayon. Il en résulte que les triangles ABC et DEF sont superposables (leurs trois côtés sont égaux). Par conséquent les hauteurs issues de A et de F sont égales, ce qui entraine le parallélisme.

Indiquer, au minimum l'idée directrice de la construction, par exemple écrire "les tracés effectués permettent d'obtenir deux triangles ABC et FDE superposables" serait prudent pour montrer au correcteur qu'il ne s'agit pas de tracés faits au hasard.

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Autre conseil pratique :

puisque le correcteur devra reconstituer à partir de votre dessin un raisonnement hypothétique, que vous etes supposé avoir fait… il faut que votre dessin favorise son travail.

 

Voici deux versions peu judicieuses de la construction classique d'une parallèle.

 

Dans le premier exemple, en traçant les cercles complets on crée de nombreux points d'intersection inutiles et on jette un doute sur la maîtrise du raisonnement sous-jacent par le dessinateur.

 

Dans le deuxième exemple au contraire les arcs sont tellement courts qu'il est difficile de les différencier de petits traits ajoutés au hasard après le tracé de la paralllèle pour donner une impression de construction…là encore il y a un fort doute sur la maîtrise du raîsonnement par le dessinateur.

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La règle du jeu étant éclaircie, comment fait-on pour résoudre un problème de construction ?

 

Voici quelques pistes, proposées sur deux exemples de problèmes.

Exemple 1 (plutôt difficile pour le CRPE) :

Construire à la règle graduée et au compas un triangle ABC tel que, si on appelle H l'orthocentre et P le pied de la hauteur issue de A, on ait :

AB = 8 cm, AP = 5 cm, H est situé sur [AP] et AH = 3 cm.

 

La première étape consiste toujours à faire à main levée une figure terminée, sans se soucier de respecter les contraintes du texte.

On demande de tracer un triangle ABC, dessinons un triangle ABC au hasard…

 

…ce n'est qu'ensuite que je reporte sur mon triangle les indications fournies par l'énoncé.

Le dessin au brouillon étant fait au hasard, il y a souvent à des incohérences. Par exemple ici, le segment [PH] est dessiné plus long que [AH] alors qu'il doit être plus court.

Généralement ces incohérences ne gènent absolument pas la suite du travail… il est donc inutile de perdre du temps à essayer de les éviter.

Vouloir que le brouillon soit très ressemblant au résultat final le rend difficile à réaliser, donc inutile.

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En observant le brouillon, on peut constater qu'on dispose d'assez d'informations pour tracer le triangle ABP : il est rectangle en P et on connait les mesures de deux côtés.

Ayant ABP, on pourra aisément placer H sur [AP]…mettons en œuvre ce début de construction, nous nous demanderons ensuite comment s'en servir pour placer C.

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Comment construire maintenant le point C ?

L'idée de base pour construire un point est ce qu'on appelle la "méthode des deux lieux".

Elle consiste à trouver deux droites, (ou une droite et un cercle, ou encore deux cercles) passant par le point qu'on cherche à construire…qui sera alors situé à l'intersection des deux droites.

 

Ici, le point C est situé la droite (BP) déjà tracée, il faut donc en tracer une autre.

En observant le brouillon, on constate que deux autres droites passant par C ont un rôle dans la figure… on en choisit donc une des deux et on se demande si on a suffisamment d'information pour la construire.

Choisissons par exemple la hauteur issue de C…elle passe par le point H, déjà construit, et est perpendiculaire à la droite (AB) déjà construite, elle est donc facile à construire.

On peut alors terminer la construction.

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Exemple 2 (plus difficile que ce qu'on rencontre au CRPE).

On donne trois droites concourantes et un point A situé sur l'une d'elles.

Construire un triangle ABC dont les trois droites sont les médianes.

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Commençons à nouveau par dessiner un triangle ABC au hasard, et ses médianes.

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La position des médianes sur notre brouillon n'est pas vraiment conforme à ce qu'elle est sur la figure donnée…comme dans le problème précédent ça n'a aucune importance.

Les informations qui découlent directement de l'énoncé ne semblent pas permettre de construire la figure demandée… nous allons donc enrichir la figure avec ce qui nous pouvons déduire.

Nous connaissons des propriétés liées aux milieux des côtés d'un triangle, ainsi qu'aux médianes, commençons par utiliser ces propriétés.

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Sur la figure ci-dessus, chaque segment tracé en vert est parallèle à un côté de ABC et mesure la moitié de ce côté. Il y a aussi la propriété du centre de gravité, situé aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.

Cela nous permet de construire facilement le point M… on peut le faire immédiatement, malheureusement, ça ne donne pas beaucoup d'éléments nouveaux pour placer B ou C… revenons donc à l'étude du brouillon.

On y remarque trois quadrillatères qui semblent bien être des parallélogrammes : APMN, BMNP et CNPM. Après s'être assuré qu'il s'agit bien de parallélogrammes (parce que leurs côtés opposés sont parallèles deux à deux) on peut essayer d'en construire un. En effet si on a le point P, milieu de [AB], il sera facile d'avoir le point B.

Lequel de ces parallélogrammes est le plus prometteur ? APMN sans hésistation puisque A est déjà placé et M facile à obtenir… reste à placer P et N.

Si aucune idée ne vient, faisons, toujours au brouillon, une petite figure annexe.

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Notre problème annexe consiste à tracer un parallélogramme APMN , N étant sur la droite rouge et P sur la droite verte.

 

Si aucune idée ne vient à ce stade, on peut chercher à résoudre un problème plus facile en abandonnant une contrainte, avec l'espoir que ça nous mette sur la piste…

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…par exemple, oublions provisoirement que N doit être sur la droite rouge.

Il est alors facile de tracer de nombreux parallélogrammes APMN en utilisant le fait que les diagonales ont le même milieu.

La disposition des points N1 à N4 donne l'impression qu'ils sont sur une même droite.

S'agit-il seulement d'une impression ?

Pas du tout : les points N sont tous situés sur la droite symétrique de la droite verte par rapport à O.

Pour s'en convaincre, il suffit de se demander comment on construirait la droite symétrique de la droite verte par rapport à O.

Pour construire cette droite, on construirait précisément deux des points Ni.

On dispose maintenant de deux droites sur lesquelles se trouve le point N : il est sur une la médiane rouge que l'on a abandonnée provisoirement et sur la droite symétrique de la médiane verte par rapport au milieu O de [AM].

Ceci permet de tracer N puis tous les autres points dont on a besoin.

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On considère généralement que la règle implicite au CRPE est que, si on demande une construction sans demander explicitement le programme de construction, la figure est suffisante, aucune description ni justification n'est attendue.

Ce principe a tout de même des limites. Une construction aussi complexe que celle-ci n'est pas compréhensible sans quelques indications. Imaginez que le corrigé type soit réalisé à partir d'une idée totalement différente et demandez vous si le correcteur va passer une demi-heure à tenter de comprendre votre méthode.

On peut par exemple préciser que l'idée directrice est la construction du parallélogramme APMN ou PM et N sont les milieux du triangle cherché. Rajouter "les constructions ont été faites dans l'ordre de couleur suivant : rouge, bleu, vert, orange" facilite la lecture et ne peut donc pas nuire.

 

L'idée que le corrigé peut être radicalement différent n'est pas une hypothèse d'école. On peut par exemple construire le point S, symétrique de A par rapport à G. M est alors le milieu de [GS], et GBSC est un parallélogramme beaucoup plus facile à tracer que celui de la méthode précédente. Cette nouvelle construction est facile à réaliser mais très difficile à trouver : d'où vient l'idée de construire le point S ?

 

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