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Comment chercher une démonstration en géométrie ?

Il n'existe aucune méthode permettant d'être certain qu'on va découvrir une démonstration, en revanche il existe plusieurs moyens d'augmenter ses chances de succès, c'est ce que nous allons voir sur un exemple.

 

Voici le problème :

M et N sont deux points (non diamètralement opposés) d'un cercle de diamètre [AB].

Les droites (AM) et (BN) se coupent en R.

Les droites (AN) et (BM) se coupent en S.

 

Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont perpendiculaires.

Faites deux dessins plutôt qu'un seul, et faites les aussi différents que possible l'un de l'autre.

figure1

Observez un de vos dessins, et notez au brouillon ce qui semble vrai sur ce dessin, sans vous censurer. Par exemple, en observant le dessin de gauche, on semble voir que :

(MN) semble parallèle à (RS)

(AB) semble être la médiatrice de [RS]

(RN) semble perpendiculaire à (AS)

MR semble être égal à NS

B semble être le milieu de [RS]

AMN semble être un triangle isocèle en A

(MS) semble perpendiculaire à (AR)

Soyez maintenant un peu critique : ce que vous écrirez devra être exact sur tous les dessins possibles pour ce problème… commençons déjà par le dessin de droite, les propriétés qui sont manifestement fausses sur le dessin de droite ne peuvent pas être vraies pour tous les dessins, on peut les éliminer.

Parmi tout ce qu'on a observé sur le dessin de gauche, il n'y a que deux affirmations qui peuvent éventuellement être vraies à droite, et qui sont donc de bonnes candidates à la démonstration :

(RN) semble perpendiculaire à (AS)

(MS) semble perpendiculaire à (AR)

 

On peut alors essayer de prouver que ces deux affirmations sont vraies, en espérant que ça nous donnera des pistes pour poursuivre.

On peut aussi explorer directement la suite, comme si les deux propriétés ci-dessus étaient déjà démontrées. En effet, si elles ne nous servent à rien, pourquoi donc se casser la tête à les démontrer ?

Ne passez pas trop tôt à la rédaction, la recherche peut sauter des étapes, partir de la fin, abandonner des pistes, y revenir…elle n'a absolument pas le caractère rigoureux attendu de la production finale.

Faisons donc comme si les deux propriétés étaient prouvées :

figure2

Cela ne fait pas naître d'idées nouvelles ?

Alors essayons une approche plus systématique. Pensez successivement aux figures associées à différentes propriétés géométriques classiques que vous avez en mémoire, et voyez si vous ne pouvez pas les retrouver dans nos dessins, quite à ne regarder qu'une partie du dessin, ou au contraire à rajouter des éléments qui n'y figurent pas.

parallelogramme

Cette figure ne vous suggère aucune idée nouvelle ?

 

 

 

 

 

Celle-ci non plus ?

Rien de très surprenant, notre objectif est de prouver que deux droites sont perpendiculaires, et notre seul résultat jusqu'à présent est d'avoir remarqué que d'autres droites semblent perpendiculaires…ce ne serait pas idiot de s'intéresser aux propriétés dans lesquelles figurent des droites perpendiculaires.

droitedesmilieux
figure3
figure4
figure6
figure7
figure5

Pour ne pas trop risquer de manquer la propriété qui serait utile :

  • reformulez : l'idée de droites perpendiculaires est fortement liée à celle d'angle droit et à celle de hauteur d'un triangle, ne vous limitez pas aux propriétés où figure le mot "perpendiculaire".
  • N'hésitez pas à consulter encore et encore une liste des propriétés géométriques disponibles… utiliser des propriétés exactes ne peut pas nuire.
Liste simplifiée
Liste de propriétés pour le CRPE

Avec un peu de chance, les deux figures centrales de la dernière rangée devraient vous évoquer quelque chose.

Parmi les deux propriétés associées à la figure comportant un cercle, l'une devrait pouvoir être utilisée pour montrer que nos candidates perpendiculaires sont vraiment perpendiculaires…

Ce seraient alors deux hauteurs d'un même triangle, ce qui peut probablement servir…

Au fil de ces réflexions, un plan de démonstration vous est peut-être venu à l'esprit.

Si c'est le cas, vous pouvez enfin passer à la rédaction, sinon continuez vos explorations.

 

 

 

Pour information, une rédaction possible de la démonstration est ici.

La recherche décrite ici est un exemple de ce qu'on peut faire à l'aide d'un brouillon : un brouillon n'est pas une version ratée ou sale du travail final, c'est un document de préparation d'une nature différente de la production finale.

La démonstration rédigée vise à être courte et rigoureuse, ce n'est pas le cas de la recherche qui n'obéit pas à des règles aussi précises : tous les coups sont permis pour chercher mais il faut être très critique sur ce qu'on rédige.

 

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