tirelire

Voici un petit problème de démonstration géométrique et quelques tentatives de solution… toutes fausses.

Cherchez ce qui ne va pas dans chaque démonstration.

Si vous débusquez toutes les erreurs, il ne vous reste plus qu'à utiliser votre esprit critique affuté sur vos propres productions ce qui est, allez savoir pourquoi, plus difficile que sur les productions d'autrui.

figure

 

 

ABC est un triangle isocèle en C.

On trace le cercle de diamètre [AB], on appelle O son centre.

La droite (CO) coupe le cercle en D et E.

Démontrer que AE = AD

[AB] et [DE] sont deux diamètres du même cercle, donc ils ont la même longueur et le même milieu.

Dans le quadrilatère ADBE, les diagonales [AB] et [DE] ont la même longueur et le même milieu donc ADBE est un losange.

ADBE est un losange, donc AE = AD.

 

?

[AB] et [DE] sont deux diamètres du même cercle, donc ils ont la même longueur.

Dans le quadrilatère ADBE, les diagonales [AB] et [DE] ont la même longueur et sont perpendiculaires, donc ADBE est un losange.

ADBE est un losange, donc AE = AD.

 

?

[AB] est un diamètre, de plus[DE] est également un diamètre car D et E sont sur le cercle et sur la droite (CO) qui passe par le centre du cercle. De plusABC est isocèle en C donc la figure est symétrique par rapport à (OC) et le rectangle BEDC (c'est un rectangle parce que ses diagonales ont la même longueur et le même milieu) a une de ses diagonales comme axe de symétrie par conséquent c'est un carré et ses quatre côtés sont égaux : AE = AD.

?

ABC est un triangle isocèle en C dont le côté [AB] est un diamètre du cercle, donc le point C est sur la médiatrice de [AB].

O est le milieu de [AB]donc O est sur la médiatrice de [AB]

donc (OC) est la médiatrice de [AB]

(OC) est la médiatrice de [AB] donc (OC) est perpendiculaire à (AB), ce qu revient à dire que (AB) et (ED) sont perpendiculaires.

[AB] et [ED] sont deux diamètres du même cercle, donc ils ont le même milieu.

Les diagonales [AB] et [ED] du quadrilatère AEDB sont perpendiculaires et ont le même milieu, donc AEDB est un losange.

AEDB est un losange donc AB = ED

 

?

ABC est un triangle isocèle en C donc AC = BC

AC = BC, or tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment, donc C est sur la médiatrice de [AB]

A et B sont sur le cercle de centre O, donc OA = OB

OA = OB donc O est le milieu de [AB]

O est le milieu de [AB]donc O est sur la médiatrice de [AB]

O et C sont sur la médiatrice de [AB] donc (OC) est la médiatrice de [AB]

(OC) est la médiatrice de [AB] donc (OC) est perpendiculaire à (AB), ce qu revient à dire que (AB) et (ED) sont perpendiculaires.

[AB] et [ED] sont deux diamètres du même cercle, donc ils ont le même milieu.

Les diagonales [AB] et [ED] du quadrilatère AEDB sont perpendiculaires et ont le même milieu, donc AEDB est un losange.

AEDB est un losange donc AB = ED

 

?

O est le centre du cercle de diamètre [AB] donc O est le milieu de [AB], il est donc sur la médiatrice de [AB]

Le triangle ABC est isocèle en C, donc CA = CB.

CA = CB donc C est sur la médiatrice de [AB].

La médiatrice de [AB] passe par O et C, c’est donc la droite (OC).

(OC) est la médiatrice de [AB] donc (OC) et (AB) sont perpendiculaires (on peut dire aussi que (DE) et (AB) sont perpendiculaires).

[AB] et [DE] sont deux diamètres du même cercle, donc ils ont le même milieu.

Dans le quadrilatère ADBE, les diagonales [AB] et [DE] ont le même milieu et sont perpendiculaires, donc ADBE est un losange.

ADBE est un losange donc AB = ED.

 

?

Vous avez déjoué tous les pièges ? Parfait.

Evidemment, ça ne suffit pas pour trouver une démonstration correcte, mais ça peut éviter la mise en forme critiquable d'une idée juste.

Une règle de base en géométrie (du moins dans la géométrie du CRPE, c'est à dire celle de l'enseignement secondaire) est que ce qu'on affirme doit être vrai pour tous les dessins possibles.

Comme il n'est pas très facile d'imaginer tous les dessins possibles, on peut utiliser l'astuce suivante : faites comme si un collègue, un professeur (ou un martien si le côté exotique vous aide) avait lui même fait un dessin et l'avait caché, faites ensuite comme si ce que vous écrivez parlait du dessin martien. Comme vous ne voyez pas ce dessin, vous ne serez pas influencé par ce que vous voyez et ce que vous en direz aura une portée générale.

 

.