tirelire

Pour les candidats au CRPE modérément amis avec les mathématiques, la masse des propriétés à mémoriser pour effectuer les démonstrations pouvant être proposées au concours est parfois effrayante… comment s'y prendre ?

Une première approche consiste à tenter de mémoriser les théorèmes de géométrie comme une fable de La Fontaine ou la tirade du nez…

Ce n'est pas très facile quand le texte à apprendre ressemble à ça :

texte

Par ailleurs, même si on parvient à mémoriser ainsi la totalité des propriétés, ça n'aide pas beaucoup à retrouver l'extrait dont on a besoin dans la démonstration qu'on cherche à rédiger.

 

Face à l'aridité du texte il est tentant, puisqu'il s'agit de géométrie, de se rabattre sur des figures.

droitedesmilieux

Sur ce croquis, on voit un triangle, deux droites qui semblent parallèles, et les milieux de deux côtés du triangle.

Faire ce genre de dessin aide certainement à se souvenir qu'il y a des propriétés qui parlent de triangle, de milieux des côtés, et de parallèles…en revanche cela n'aide pas à retenir avec précision ce que disent ces propriétés.

Une propriété géométrique n'est pas simplement la description d'un dessin, c'est un outil qui permet à partir de certaines informations connues de déduire d'autres informations nouvelles.

Le principal défaut du dessin précédent est qu'il ne permet pas de distinguer ce qui est connu de ce qu'on peut déduire.

droitedesmilieux2

Une façon de dépasser cette limite des figures consiste à adopter un code qui distingue nettement ce qui est connu au départ de ce qu'on déduit.

Sur l'exemple ci-contre, on a adopté la convention suivante : ce qui est connu au départ est en vert, ce qui est déduit est en rouge.

Ce dessin illustre donc exclusivement la propriété :

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle,

alors elle est parallèle au troisième côté.

droitedesmilieux3

On peut aussi utiliser le code suivant : ne dessiner que ce qui est connu au départ, ce qui est déduit ne figurant que sous forme de texte.

Cela permet peut-être de mieux distinguer encore le connu (qu'on voit sur le dessin) du déduit (qui n'est pas dessiné).

En revanche, cela place dans des conditions assez éloignées de celles qu'on rencontre au moment où on rédige une démonstration : quand on cherche à démontrer que deux droites sont parallèles, on voit généralement des droites parallèles sur la figure…et on doit s'efforcer de garder à l'esprit qu'on ne sait pas encore qu'elles le sont.

droitedesmilieux4

Quel que soit le codage adopté, l'important est qu'il permette de distinguer la propriété précédente de celle qui est illustrée ici, qui peut s'énoncer :

Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté,

alors elle est passe par le milieu du troisième côté.

Les paires de propriétés qui, comme les deux précédentes, parlent de la même configuration mais diffèrent par ce qui est connu et ce qu'on déduit sont assez nombreuses.

Pour chacune de ces propriétés, un travail permettant d'expliciter clairement ce qui est connu et ce qu'on déduit est indispensable et doit précéder l'effort de mémorisation.

 

Quelques exemples :

trianglerectangleetcercle
trianglerectangleetcercle

Si le triangle AMB est rectangle en M

alors M est sur le cercle de diamètre [AB].

.

trianglerectangleetcercle
trianglerectangleetcercle

Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB],

alors le triangle AMB est rectangle en M.

trianglerectangleetcercle
mediatrice
mediatrice

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment,

alors il est situé sur la médiatrice de ce segment.

Si un point est sur la médiatrice d'un segment,

alors il est à la même distance des extrémités de ce segment.

mediatrice
losange
losange

Et bien non, ce n'est pas forcément un losange, il n'y a aucune propriété qui prétend ça, comme on aurait pû s'en rendre compte à l'aide du schéma…

losange

Si un quadrilatère est un losange,

alors ses diagonales sont perpendiculaires.

losange

Ce dernier exemple illustre le fait que si on prend une propriété géométrique correcte et qu'on inverse ce qui est connu et la conclusion (pour obtenir ce qu'on appelle la réciproque de la propriété initiale), on obtient une nouvelle propriété qui n'est pas forcément vraie.

 

Si un quadrilatère est un carré, alors ses quatre côtés sont égaux… VRAI

 

Si un quadrilatère a quatre côtés égaux alors c'est un carré… FAUX