Primaths2 tirelire

Dans certains fichiers, la multiplication n'est que le résumé d'une addition réitérée.

À quoi cela peut-il bien servir aux élèves ?

Si je rencontre 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ce qui, soit dit en passant, n'arrive pas tous les jours, et qu'on me dit que ça peut s'écrire 10 x 3 et se lire « dix fois trois » je ne suis pas beaucoup plus avancé pour savoir à quel nombre ça correspond.

multiplication1

Il y a 10 fois 3 billes… mais cela fait combien de billes ?

 

???

Il y a 10 fois 3 billes… mais cela fait combien de billes ?

 

???

multiplication2

C'est pourquoi il nous semble fondamental d'introduire très rapidement l'idée suivante.

si je dispose mes billes en rectangle comme ceci,

multiplication3

je peux toujours voir 10 fois 3 billes,

multiplication4

mais il me suffit de regarder différemment, en m'aidant par exemple de traits horizontaux pour voir qu'il y a aussi 3 fois 10 billes.

multiplication5

3 fois 10 billes, c'est 3 dizaines de billes.

Si on a bien compris le système décimal, on voit tout de suite que ça s'écrit 30 billes.

 

10 fois 3 billes, c'est autant que 3 fois 10 billes, c'est 30 billes.

 

L'organisation en tableau rectangulaire n'est pas réservée au cas de 10 fois 3.

En disposant les objets en rectangle, on voit aussi que :

17 fois 2 c'est comme 2 fois 17

9 fois 8 c'est comme 8 fois 9

100 fois 4 c'est comme 4 fois 100

4 fois 25 c'est comme 25 fois 4

Cette capacité à passer d'une vision à l'autre de la grille rectangulaire, permet dans certains cas de faciliter les calculs :

2 fois 17, c'est-à-dire 17 + 17, est plus facile que 17 fois 2.

4 fois 100, c'est-à-dire 4 centaines, est plus facile que 100 fois 4.

4 fois 25 est plus facile que 25 fois 4.

En revanche pour 8 fois 9 et 9 fois 8, aucun des deux n'est vraiment sympathique… c'est pourquoi on sera obligé plus tard d'apprendre par cœur le résultat.

 

On peut alors s'entraîner à simplifier des calculs à l’aide de la disposition en rectangle.

Voici quelques exemples de ce qu'on peut proposer :

 

10 x 7 c'est 10 fois 7, mais c'est aussi 7 fois 10 ou 70

234 x 2 c'est 2 x 234 c'est-à-dire 234 + 234 ou 468.

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 8 c'est 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6  + 2, c'est donc 10 fois 6 plus 2. Comme 10 fois 6 c'est 6 fois 10, ou encore 60, le total vaut donc 62. 

12 x 13 c'est 13 x 12, mais aucun des deux n'est sympathique.

multiplication6

Quelques jours ou semaines plus tard, on propose 8 x 12, qui ne semble guère plus sympathique.

Le maître suggère de découper la grille en deux morceaux plus faciles à calculer.

multiplication6bis multiplication6ter1

Le premier essai oublie que les rectangles peuvent simplifier la tâche, le second utilise des rectangles qui ne la simplifient guère.

Dans les séances précédentes, les rectangles ayant une dimension de 10 étaient commodes, il n'est pas impossible qu'avec un petit temps de réflexion l'idée suivante vienne des élèves.

Si ce n'est pas le cas, le maître n'hésitera pas à la donner.

multiplication7

En partageant ainsi, les points sont faciles à dénombrer dans chacun des deux rectangles…

multiplication8

… à condition d'utiliser les découpages qui conviennent le mieux.

Dans la partie de gauche, il y a 8 fois 10 points, c'est-à-dire 80 points.

Dans la partie de droite, il y a 2 fois 8 points, c'est-à-dire 16 points.

Il y a en tout 80 points plus 16 points, c'est-à-dire 96 points.

8 x 12 = 96

La technique usuelle de multiplication n'est pas encore là, mais on s'en approche…

 

Remarque

Pour mettre en évidence la commutativité de la multiplication, on pourrait se contenter de calculer les deux suites d'additions :

On constate que 5 + 5 + 5 + 5 = 20,

on constate également que 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

ce qui montre que 4 fois 5, c'est la même chose que 5 fois 4.

Cette approche nous semble insuffisante car, elle laisse mystérieuse la raison pour laquelle les deux résultats sont égaux.

Un exemple traité à l'aide de la disposition rectangulaire est au contraire générique : la raison profonde de l'égalité est qu'il s'agit des mêmes objets que l'on dénombre par des procédés différents. Comme il s'agit des mêmes objets, le nombre est le même dans les deux cas.

Il parait raisonnable de penser que si on ajoute une ligne ou une colonne au tableau rectangulaire, le phénomène restera valable, on pourra toujours compter les objets ligne par ligne ou colonne par colonne.

Enfin, on remarquera qu'avec la disposition rectangulaire, il n'est pas nécessaire de calculer le résultat pour comprendre que 6 fois 8 vaut autant que 8 fois 6, ce qui contribue grandement à la généralisation visée.

 

 

Une suite possible

 

Quand les élèves ont bien compris que 8 fois 11billes et 11 fois 8 billes, ça fait autant de billes et qu'ils ont commencé à utiliser cette propriété pour calculer plus facilement, le moment nous semble venu d'introduire l'expression "8 multiplié par 11".

 

Voici une des façons possibles de le faire.

P1020098

Voici une bande de papier et une perforatrice.

Je veux faire rapidement beaucoup de trous dans la bande.

P1020099

Pour ça, je vais plier la bande.

Par exemple, je la plie en six morceaux comme sur la photo.

P1020100

Ce pliage permet de faire six trous à la fois.

On obtient donc beaucoup de trous facilement grâce au pliage.

P1020101

Grâce au pliage, à chaque fois que je perce, j'obtiens six trous au lieu d'un, on dit que les trous sont multipliés par six.

 

En vieux français, le mot "moulte" voulait dire beaucoup, et notre mot "multiplier" vient des mots "moulte" et "plier".

P1020104

J'ai percé quatre fois, et comme il y avait six couches de papier, il y a :

quatre trous multipliés par six

Quatre trous, multipliés par six, c'est combien de trous ?

Pour le savoir , je peux déplier ma feuille et compter panneau par panneau.

Il y a quatre trous sur le premier panneau, quatre trous sur le deuxième panneau…

en tout, le nombre de trous est

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

Quatre multiplié par six, c'est autant que six fois quatre.

P1020105
P1020107

Je peux aussi compter les trous en gardant la feuille pliée. Quand j'ai percé ici, j'ai fait six trous à la fois, car j'ai percé toutes les couches de papier.

Aux autres endroits où j'ai percé, j'ai également fait six trous.

En tout, le nombre de trous est

6 + 6 + 6 + 6

Quatre multiplié par six, c'est autant que quatre fois six.

On peut évidemment refaire le travail avec 6 multiplié par 4

Si on compte panneau par panneau, on constate que 6 multiplié par 4, c'est autant que 4 fois 6.

Si on compte perçage par perçage, on constate que 6 multiplié par 4, c'est autant que 6 fois 4.

 

Il ne nous semble pas nécessaire de s'étendre longuement là dessus, la propriété essentielle a déjà été travaillée quand on utilisait le terme "fois".

Il s'agit simplement que les élèves comprennent que quand ils rencontrent "7 multiplié par 10" ils peuvent penser, comme ils le veulent (ou plutôt comme c'est plus commode pour ce qu'on veut faire) 7 fois 10 ou 10 fois 7.

A compter de ce moment, on utilisera a priori indifféremment les quatre expressions possibles d'un produit.

Cependant, il restera nécessaire de rappeler féquemment que si la valeur est toujours la même, penser le calcul d'une façon ou de l'autre peut le rendre plus facile.

Si je pense dix fois sept (7 + 7 + 7…) ça parait bien mystérieux.

Si je pense sept fois dix, c'est à dire 7 dizaines, la connaissance du système décimal permet d'écrire immédiatement le résultat.

 

 

 

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