Primaths2 tirelire
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— Voici une boîte vide, tout le monde a vu qu'elle est vide ?

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— Je mets dans la boîte une brique bleue, deux briques bleues, trois, quatre, cinq…

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… six, et sept.

Il y a 7 briques bleues dans la boîte.

tableau1

— J'écris "7 briques bleues" au tableau pour qu'on ne l'oublie pas.

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J'ajoute dans la boîte une brique rouge, deux briques rouges, trois, quatre, cinq et six.

tableau2

— J'écris au tableau ce qu'il y a dans la boîte :

7 briques bleues et 6 briques rouges.

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— Je ferme la boîte.

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— Je vais sortir les briques de la boîte et nous allons les compter. Combien allons-nous en trouver ?

Prenez votre cahier de brouillon et cherchez combien nous trouverons de briques quand nous les compterons.

— J'ai fini, j'ai fini, il y en…

— Chuuuuuut, tu ne dis rien et tu laisses les autres chercher. Tu peux prendre un livre pour lire un peu en silence en attendant.

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Quand tout le monde a écrit sa réponse, le maître, ou un élève, sort les briques une à une et les compte à haute voix devant toute la classe.

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Il y avait 13 briques dans la boîte.

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On vérifie qu'il n'y en a plus.

7 briques bleues et 6 briques rouges, cela fait 13 briques en tout.

On peut juger lourd le déroulement proposé ici pour un problème somme toute très élémentaire. Nous voyons cependant des avantages importants à cette façon de le poser :

  • Il n'y a pas de texte écrit, personne ne reste sur la touche uniquement parce qu'il a des difficultés avec la lecture (cet aspect peut sembler évident concernant le début du CP, mais il reste pertinent même avec des enfants plus grands : si le problème est posé sous forme d'un texte dont la lecture est trop difficile pour certains élèves, ceux-ci ne font pas de mathématiques).
  • Il n'y a pas de référence à un vécu extérieur à la classe pouvant entrainer des ambiguïtés (voir, même si cela concerne plutôt le cycle 3, cette page sur les problèmes dits "de vie courante").
  • Le fait que les briques soient présentes dans la boîte permet une validation par ou avec les élèves : le nombre de briques que l'on compte est celui qu'on avait prévu ou non. Dans tous les cas le maître n'y est pour rien : il ne s'agit pas de deviner ses attentes.
  • Quand le maître ou un élève décrit une méthode, le résultat est déjà connu par comptage. Les élèves n'attendent pas de savoir s'ils "ont bon", ils peuvent se consacrer à la compréhension de la méthode qui leur est expliquée.
  • Enfin, les briques ne sont pas visibles quand on cherche, ce qui oblige les enfants à un minimum d'abstraction : la procédure la plus basique consiste à dessiner les briques bleues puis les rouges et à compter les objets dessinés. Il ne s'agit pas encore de calcul, mais cela permet tout de même de déterminer le nombre d'objets sans les compter, d'anticiper sur le comptage effectif or, c'est bien une des fonctions essentielles des mathématiques. En d'autres termes, même pour les élèves qui en restent à du comptage sur leur dessin, la situation permet de comprendre la nature des tâches demandées en mathématiques. Le comptage sur le dessin témoigne également que l'élève qui s'en sert est convaincu que 7 et 6, c'est toujours le même nombre.

 

Le choix des problèmes et la façon de les poser ne suffisent évidemment pas à faire progresser tous les élèves. Les interventions du maître pendant la recherche et pendant la mise en commun sont tout aussi importantes…mais il est beaucoup plus difficile de donner des indications à ce propos car, si la consigne de départ est relativement indépendante des élèves, les aides en cours de recherche et la synthèse sont au contraire très liées aux productions réelles des élèves.

Tentons tout de même quelques pistes :

Pour la plupart des élèves, l'addition et la soustraction, ne sont pas en CP des outils pour résoudre les problèmes. Les problèmes sont résolus autrement, en référence à des connaissances numériques déjà établies (5 et encore 5, c'est 10, comme les doigts des deux mains) ou en comptant, en dessinant…

Cela n'interdit nullement de traduire les problèmes par des égalités numériques comme 8 + 3 = 11 ou 11 - 3 = 8, bien au contraire on introduira rapidement ces notations et on s'exercera à les utiliser, on fera remarquer qu'il y a plusieurs écritures de ce type correspondant à la même histoire : 8 + 3 = 11 ; 3 + 8 = 11 ; 11 - 3 = 8.

Cependant, on se gardera d'exiger prématurément l'écriture d'une opération dans la résolution d'un problème.

On acceptera au contraire toutes les procédures, même les plus rudimentaires. Cependant, on peut reposer un même problème avec des valeurs légèrement différentes en demandant explicitement d'essayer d'utiliser la méthode de Léa ou celle d'Antoine.

On peut aussi le reposer avec des nombres plus grands qui rendent pénibles les méthodes s'appuyant sur le dessin. Le scénario ci-dessus peut par exemple être repris avec des nombres nettement plus grands dès que le système décimal a été travaillé.

Le déroulement de la mise en commun est délicat : si elle se réduit à donner une seule méthode, celle du maître, elle peut décourager les prises d'initiatives, pourtant essentielles en mathématique. Cependant, il n'est pas possible de faire passer tous les élèves en leur demandant de montrer ce qu'ils ont fait : c'est très vite fastidieux, l'enjeu n'est pas suffisant pour maintenir l'intérêt. C'est donc au maître d'observer ses élèves pendant qu'ils travaillent et de choisir deux ou trois procédures qui lui semblent mériter d'être montrées. Il devra souvent arbitrer entre des exigences contradictoires : il se peut que la procédure d'Ahmed soit plus riche mathématiquement, mais que le maître choisisse plutôt de demander à Martine de montrer ce qu'elle a fait parce qu'elle a rarement l'occasion de se mettre en valeur.

D'autres problèmes, s'appuyant sur un matériel permettant la validation sont proposés dans la suite de cette page et sur celle-ci.

D'autres problèmes, issus de la vie de la classe, sont proposés ici.

Le même problème dans une autre présentation.

Le changement de présentation contribue à maintenir l'intérêt en évitant un travail trop routinier.

Il vise surtout à faire comprendre que les méthodes utilisées ne sont pas réservées au contexte des boîtes dans lesquelles on cache des objets.

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— Je vais vous poser un problème à propos de ces cartons.

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— Si je retourne le carton marqué 6, on voit six gros points.

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— Si je retourne le carton marqué 4, on voit quatre gros points.

On vérifie de la même manière les autres cartons.

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— Je garde seulement ces deux cartons.

Je vais les retourner, et nous compterons tous les points qui sont derrière.

Combien trouverons nous de points ?

La validation se fait comme pour la version boîte en comptant réellement les points.

Un autre problème posé au tableau.

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— J'ai mis des aimants au tableau.

Hyacine, peux-tu me dire combien il y a d'aimants ?

— Il y en a douze.

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— Je cache une partie des aimants. Combien d'aimants sont cachés sous le carton ?

 

Bien entendu, quand les élèves ont répondu, on vérifie en soulevant le carton.

Une autre version.

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— J'ai mis des aimants au tableau.

Cécile, peux-tu me dire combien il y a d'aimants ?

— Dix, onze douze, treize, quatorze. Il y en a quatorze

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— Je cache les quatorze aimants et puis j'en prends quelques-uns.

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— Je place au dessus de la règle tous les aimants que j'ai pris.

Combien y a-t-il d'aimants sous le carton ?

 

Une fois de plus, quand les élèves ont répondu, on vérifie en soulevant le carton.

Un problème vraiment différent.

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Pour le problème d'aujourd'hui, j'ai préparé des triangles en carton.

Cinq triangles en carton.

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Je veux les fixer au tableau comme ça, avec un aimant à chaque pointe du triangle, alors il me faut trois aimants pour chaque triangle.

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Pour fixer de cette façon mes 5 triangles, combien me faut-il d'aimants ?

Attention, il est important qu'au moment où la question est posée les triangles ne soient pas tous visibles afin qu'il ne suffise pas de compter les sommets.

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Au moment de la vérification, rien n'interdit de disposer les triangles ainsi et d'utiliser trois couleurs d'aimants.

Ainsi on peut voir 3, 3, 3, 3 et encore 3

mais on peut aussi voir 5, 5 et encore 5.

Il est tout à fait possible que ceci ne déclenche aucune remarque…

Un autre version.

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— Aujourd'hui, j'ai apporté cinq boîtes.

Louna, tu vas mettre trois cubes dans cette boîte, Patrick tu vas mettre trois cube dans celle-ci, Sylvie tu en mettras trois dans celle-ci, Magali dans celle-ci et enfin Jordan dans la dernière.

Merci.

Maintenant je referme les boîtes.

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Tout à l'heure, j'ouvrirai les boîtes et nous compterons combien il y a de cubes en tout, combien en trouverons nous ?

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Quand le problème est résolu, on n'oublie pas de demander à quelques élèves de vérifier.

On peut mettre dans chaque boîte un cube bleu, un rouge et un jaune.

On facilite ainsi, comme pour le problème précédent, la procédure utilisant 5 + 5 + 5 et non 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Il est plus facile ainsi de procéder par le calcul, car le repère "5 et 5, c'est 10, comme les doigts des deux mains " est un des premiers mémorisés.

On jette aussi les bases d'une propriété qui sera essentielle quand on introduira la multiplication.

 

 

 

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