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Problèmes numériques pour le CE1

Dans d'autres pages, nous proposons des problèmes pour le cycle 2 portant sur le matériel effectivement présent dans la classe (ici et ici).

Les exemples proposés dans ces pages utilisent des nombres nettement inférieurs à 100 et sont donc plutôt destinés au CP même si on peut continuer à les utiliser au CE1.

La validation à l'aide du matériel est plus difficile en CE1 quand on utilise des "grands nombres". Il serait très fastidieux de compter un à un 534 cubes pour vérifier si ce qu'on a trouvé est vrai.

Dans certains contextes, cette validation par le matériel reste cependant possible.

En voici quelques exemples.

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— J'ai fixé au tableau une grande bande de papier, Rose, viens donc m'aider à la mesurer à l'aide du mètre ruban. Tu places l'extrémité du ruban juste sur l'extrémité de la bande, et quand tu es prête, tu me le dis.

— Je suis prête.

— La grande bande du tableau mesure 245 cm.

Vous avez remarqué qu'il y a un trait sur ma bande ici.

bandes2

— Je vais maintenant couper la bande en deux parties à l'emplacement de ce trait.

Je ne laisse au tableau que le grand morceau, mais Louis va venir mesurer le petit morceau que je pose sur mon bureau.

La règle du tableau devrait suffire pour faire la mesure… veux-tu que je t'aide à tenir la bande, Louis ?

— Oui, je veux bien.

— Alors, quelle est sa longueur ?

— 62 centimètres.

— J'écris au tableau tout ce qu'on sait :

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— Voyez-vous ce qu'on pourrait chercher ?

— Oui, oui, c'est facile…

— Je vais écrire au tableau la question que je vous pose… si certains parmi vous avaient pensé à d'autres questions, vous pourrez les poser aussi.

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— Il y avait d'autres questions ?

— Non, c'était la même.

— Eh bien, au travail, cherchez la longueur de la bande qui reste, quand vous aurez trouvé, nous la mesurerons pour vérifier.

Quelques remarques :

Le contexte des mesures de longueur permet une validation facile dans la mesure où il n'est pas nécessaire de compter les centimètres un à un : dès qu'on a appris à utiliser une règle pour mesurer on peut aborder ce type de situation.

En revanche, la mesure effective est par nature entachée d'une imprécision. Il peut arriver, en mettant bout à bout 8 bandes mesurées à 24 cm, que la longueur totale soit mesurée à 193 cm et non 192 comme le calcul l'aura annoncé. Ce n'est pas grave : nos bandes étaient peut-être un tout petit peu plus longues que 24 cm. C'est une occasion de remarquer que s'il n'y a rien entre 24 billes et 25 billes, il y a des bandes plus longues que 24 cm, mais plus courtes que 25 cm. Il est aussi possible qu'il y ait de petits intervalles entre les bandes, augmentant ainsi la longueur totale.

Il nous semble qu'il ne faut pas fuir ces situations : la longueur mesurée et la longueur calculée sont presque identiques, les considérations ci-dessus peuvent expliquer la différence. Il est normal dans ces situations qu'il y ait un petit écart (alors qu'il ne doit pas y en avoir quand on calcule un nombre de billes ou de cubes).

 

Dans ce contexte des mesures de longueur, on sera conduit à utiliser à la fois des mesures en centimètres et des mesures hybrides en mètres et centimètres.

Le choix entre les deux découle directement de l'outil utilisé. Un mètre ruban de menuisier donne des mesures en centimètre, alors que la règle de la classe reportée plusieurs fois conduit à exprimer les longueurs en mètres et centimètres.

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Quand des problèmes auront été posés à l'aide du matériel, on pourra poser des problèmes de même type sous la forme d'un texte. La situation étant déjà connue, elle devrait être assez facile à évoquer. Le matériel ne sera alors sorti qu'au moment de la validation.

Quand on posera, plus tard, des problèmes à l'aide d'un texte ne décrivant pas un matériel présent dans la classe, on espère que les élèves continuent à évoquer la situation avant de calculer quoi que ce soit.

Il n'y a en effet aucun lien à chercher entre les mots du texte et les calculs à faire.

Les éventuels calculs sont imposés par la situation : quand on met bout à bout deux bandes, la longueur de la bande obtenue est la somme des longueurs, quelle que soit la façon dont la situation est décrite dans l'énoncé.

 

Bien entendu, même si on s'en tient à des problèmes relevant d'une addition ou d'une soustraction, on variera les situations et les formulations.

Une bande mesure 65 cm, on en ajoute une deuxième, la longueur totale est alors 213 cm, quelle est la longueur de la bande ajoutée ?

La bande bleue est plus longue que la bande rouge. Elle mesure 58 cm de plus. La bande bleue mesure 172 cm. Quelle est la longueur de la bande rouge ?

La bande rouge mesure 237 cm. La bande bleue mesure 92 cm. La bande rouge est plus longue que la bleue. Combien de centimètres en plus ?

 

Sans chercher à être exhaustif, pour éviter de proposer des problèmes trop stéréotypés, on se référera utilement à la typologie des problèmes additifs de Gérard Vergnaud.

Une classification qui en est inspirée est proposée à la page 57 du document « le nombre au cycle 2 » publié par le ministère de l'Éducation nationale.

En revanche, insistons sur le fait que cette classification est un outil pour l'enseignant, ce n'est en aucun cas un objet d'étude pour les élèves (et il ne suffit pas, comme le proposent les auteurs, de remplacer les mots utilisés par Gérard Vergnaud par d'autres, pour en faire un objet d'étude pertinent pour les élèves).

L'article consacré aux problèmes additifs et soustractifs du document « Le nombre au cycle 2 » incite au contraire à s'appuyer explicitement sur la typologie de Vergnaud pour enseigner la résolution de problèmes.

On lit par exemple à la page 61, parmi les critères de réussite :

– l’élève sait évoquer le fait que ce soit un problème avec une transformation (action) ;

– l’élève sait identifier et évoquer l’état final ;

– l’élève sait identifier et évoquer la transformation positive ;

– l’élève sait reconnaître et évoquer une situation de type 3 : recherche de l’état initial à partir d’une transformation positive

On lit également à la page 62, en conclusion de cet article :

Conclusion : les autres catégories additives (cas 1, 2, 4 à 14)

La mise en œuvre et la progressivité des apprentissages sont identiques pour la catégorie présentée.

On n’oubliera pas qu’il est indispensable d’entretenir les connaissances et de reprendre ces types de problèmes et leur classification régulièrement, tout au long de l’année…

 

Considérons le problème suivant, posé à l'aide du matériel ou par un texte écrit.

Je dispose d'une grande bande. J'en coupe un morceau de 67 cm que j'enlève. Le morceau restant mesure 161 cm. Quelle était la longueur de la grande bande ?

Peut-on imaginer qu'un élève de CE1 résolve ce problème en se disant à peu près ce qui suit ?

— Voyons, voyons. Il s'agit d'un problème avec une action où le nombre va diminuer, je sais de combien ça diminue et je connais la valeur à la fin. On me demande la valeur au début. Bon sang, mais c'est bien sûr, c'est le cas 3 de la classification, je dois poser une addition.

Cette hypothèse laisse le Primaths pantois… il faut n'avoir jamais rencontré d'enfant de 7 ou 8 ans pour croire une chose pareille possible.

On entend parfois déplorer la résistance au changement des enseignants, le fait qu'ils lisent peu les textes officiels et les appliquent lentement. Si tel est le cas, on ne peut en l'occurrence que s'en réjouir et espérer que le bon sens évitera de prendre au sérieux les préconisations de ce texte.

Fin du coup de gueule.

Un autre contexte permettant une validation à l'aide du matériel : les pesées.

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— Je pèse trois verres identiques, à eux trois, ils pèsent 950 g.

Tout à l'heure, je pèserai un seul verre, quel poids vais-je trouver ?

Plus encore que pour les mesures de longueur, la validation de problèmes portant sur le poids donnera souvent lieu à discussion.

Dans l'exemple proposé, on part de l'idée que les trois verres sont identiques… et ils semblent l'être. Mais si on s'en assure en comparent deux verres à l'aide de la balance de Roberval, il se peut qu'on ait des surprises.

Ce n'est pas grave et ne doit pas conduire à abandonner le problème.

On commence à comprendre ainsi que les mathématiques ne portent pas sur les objets de la vie, mais sur des objets idéalisés.

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Certes, les verres n'ont en réalité pas tous le même poids, mais si l’on ne fait pas cette supposition, on ne peut rien calculer du tout.

Il est donc raisonnable, si les verres semblent identiques de supposer a priori qu'ils ont le même poids, ce qui permet de calculer une valeur approximative assez bonne du poids de chacun d'entre eux.

Si par hasard la différence était importante, on mettrait en évidence que ce n'est pas le calcul qui est mis en cause, mais l'hypothèse de départ : on a fait comme si les verres étaient identiques alors que ce n'était pas vrai.

 

Une autre connaissance se construit à cette occasion, l'idée d'ordre de grandeur.

Si l’on a calculé que chaque verre pèse un peu plus que 316 g et que les pesées donnent 315 g 316 g et 319 g, on peut considérer que la pesée valide notre calcul.

Si, en revanche, on a trouvé que chaque verre pèse environ 37 g, il est clair qu'on a commis une erreur.

 

Insistons pour finir sur l'intérêt d'utiliser une balance à plateaux type de préférence à une balance à lecture directe (à aiguille ou numérique). Seules les balances à plateaux mettent en évidence des phénomènes essentiels comme celui ci : si l'objet A pèse 100 g et l'objet B 200 g, si je les mets sur le même plateau, il faudra pour équilibrer mettre sur l'autre plateau les 100 grammes qui équilibrent A et les 200 grammes qui équilibrent B.

 

 

Un autre contexte permettant une validation à l'aide du matériel : la monnaie.

 

On joue à la marchande.

Jade compte l'argent qu'elle a dans son porte-monnaie : elle a 3 euros et 40 centimes.

Elle achète un objet à un euro et 20 centimes, et un autre à 70 centimes.

Combien lui restera-t-il dans son porte-monnaie après les deux achats ?

 

Il est très facile de jouer la situation, un enfant jouant l'acheteur, un autre le marchand.

On calcule la somme qui doit rester dans le porte-monnaie puis on l'ouvre.

Contrairement aux pesées, le résultat devrait être exact, mais il n'est pas impossible que les acteurs se soient trompés, par exemple dans le rendu de monnaie.

Nous proposons de ne pas éliminer ces cas en vérifiant préventivement le rendu de monnaie.

Si le porte-monnaie ne contient pas ce qu'on a prévu, il se peut que notre calcul soit faux, il se peut aussi que la situation jouée ne soit pas exactement ce qu'elle aurait dû être… y réfléchir et rejouer la situation a posteriori ne peut pas faire de mal.

 

Une situation générique : les petits carrés.

Si l'on dispose de ce matériel simple à réaliser, que nous proposons d'utiliser pour l'étude du système décimal, de nombreux problèmes peuvent être posés de façon qu'une validation par le matériel soit possible.

L'utilisation d'un matériel mettant en évidence les centaines et les dizaines permet que cette validation ne soit pas trop lourde (inutile de compter un à un tous les petits carrés) et donne l'occasion de revoir régulièrement le principe de la numération décimale, pour vérifier les réponses fournies, ou même pour résoudre les problèmes.

 

Deux exemples :

— J'ai sorti 126 petits carrés (ils sont cachés derrière le tableau). Il y a autant de carrés rouges que de carrés bleus, et il n'y en a pas d'autres couleurs.

Tout à l'heure, nous compterons les carrés rouges. Combien trouverons-nous de carrés rouges ?

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— J'ai sorti 350 petits carrés (ils sont cachés derrière le tableau). Je vais les ranger par paquets de 50 carrés, combien de paquets vais-je faire ?

 

L'un des intérêts de ce matériel peu contextualisé est qu'il pourra ensuite servir de support pour une schématisation d'autres problèmes ne se prêtant pas directement à une validation par le matériel.

 

— Le directeur de l'école a reçu 350 cahiers. Les cahiers sont rangés en paquets de 50. Combien de paquets de 50 cahiers a-t-il reçus ?

 

Si l’on est habitué à résoudre des problèmes de petits carrés, il nous semble intéressant de se demander si l’on peut poser un problème de carrés qui ressemble à celui des cahiers.

Le problème donné plus haut est-il le même que celui des cahiers ? Ce n'est pas évident pour tous les enfants. Outre qu'il ne s'agit pas des mêmes objets, le rangement est donné d'emblée dans le problème des cahiers alors qu'on assiste à l'action de ranger dans celui des carrés.

Concevoir qu'au-delà de ces différences ces deux problèmes ont une structure commune beaucoup plus profonde est difficile, mais c'est un progrès important dans la résolution de problèmes.

Il semble en effet qu'une grande part de l'activité de résolution de problème consiste à rapprocher le nouveau problème d'autres problèmes de structure identique ou proche, que l'on a déjà résolu.

 

Mise en garde solennelle :

 

Poser des problèmes pour lesquels une validation matérielle est possible peut contribuer à construire un rapport des élèves à l'activité de résolution de problèmes sain :

Fondamentalement, il s'agit d'anticiper sur un comptage ou une mesure, de prévoir un nombre auquel on n'a pas encore accès… et non de satisfaire le maître ou de deviner ses attentes.

Il est cependant très facile de réduire à néant cet avantage potentiel si on ne considère pas comme valables toutes les procédures permettant de trouver un résultat vrai.

 

Reprenons un problème proposé plus haut :

— J'ai sorti 126 petits carrés (ils sont cachés derrière le tableau). Il y a autant de carrés rouges que de carrés bleus, et il n'y en a pas d'autres couleurs. Tout à l'heure, nous compterons les carrés rouges. Combien trouverons-nous de carrés rouges ?

D'un point de vue mathématique, toutes les réponses qui suivent sont également correctes.

Il se peut que certaines méthodes soient plus rapides, plus faciles à expliquer, de portée plus générale… et ces questions méritent d'être discutées, il n'en reste pas moins que les raisonnements décrits ici permettent tous de prévoir correctement le nombre de carrés rouges et doivent donc absolument être acceptés, ainsi que tous les autres raisonnements corrects que nous n'avons pas envisagés.

 

50 + 50 = 100, ce n’est pas assez.

100 + 100 = 200, c'est trop.

80 + 80 = 160, c'est trop.

Et enfin : 63 + 63 = 126, c'est ça, il y a 63 carrés rouges.

 

 

C'est facile, on a vu que 126 c'est 12 dizaines et 6 unités, alors j'ai partagé les dizaines et les unités, ça fait 6 dizaines et 3 unités pour chaque couleur, il y a 63 cubes rouges.

 

 

Je mets 20 cubes rouges et 20 bleus, 20 + 20 = 40.

Je mets encore 20 rouges et 20 bleus, ça fait encore 40, en tout il y en a 40 + 40 = 80

Je mets encore 20 rouges et 20 bleus, ça fait encore 40, en tout il y en a 80 + 40 = 120

Je mets 3 rouges et trois bleus, ça fait 6, en tout il y en a 120 + 6, j'ai fini.

Il y a 20 + 20 + 20 + 3 = 63 cubes rouges.

 

 

126 c'est 100 + 20 + 6

100 c'est 50 et 50

20 c'est 10 et 10

6 c'est 3 et 3

50 + 10 + 3 = 63

Il y a 63 cubes rouges.

 

 

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