Primaths2 tirelire

Cette page est destinée à ceux qui choisissent d'enseigner la technique de soustraction posée traditionnelle, basée sur la propriété suivante :

La différence entre deux nombres ne change pas si on ajoute la même quantité à chacun des deux nombres.

 

Cette propriété est difficile… comment peut-on la faire comprendre ?

 

Une première possibilité à ne pas négliger est de renoncer à la faire comprendre et d'enseigner la technique comme une boîte noire. On apprend comment faire, on constate que ça marche, mais on ne sait pas pourquoi, et on le dit clairement aux élèves.

Cette proposition n'est pas une pure provocation.

Bien sûr, la boîte noire doit rester l'exception et la compréhension des techniques utilisées la règle, mais, quand l'explication est si difficile qu'elle risque de noyer une majorité des élèves plutôt que d'éclairer la technique, gagner du temps et de la sérénité en enseignant seulement le savoir-faire n'est pas forcément absurde.

Dans cette optique, la technique enseignée a à peu près le même statut que la touche « racine carrée » de la calculatrice pour la plupart des adultes : on sait qu'elle produit le résultat attendu, mais on n'en sait guère plus.

 

Une deuxième possibilité est d'exposer aux élèves les raisons qui fondent la méthode.

Voici quelques façons de le faire :

soustraction16

La maîtresse mesure 168 cm, Paul mesure 122 cm.

La différence de taille est de 168 cm - 122 cm, soit 46 cm.

soustraction17

Si la maîtresse et Paul montent sur des tabourets identiques et qu'on mesure les distances du sol au sommet de leurs têtes, on trouve

203 cm et 157 cm,

203 cm - 157 cm = 46 cm.

La différence n'a pas changé.

J'ai 17 billes, j'en enlève 10, il en reste 7.

17 - 10 = 7

soustraction21
soustraction18

Si j'ai une bille de plus et que j'en enlève également une de plus, il en reste autant.

18 - 11 = 17 - 10 = 7

soustraction20
soustraction19

Je place un objet le long d'un mètre ruban.

Une des extrémités coïncide avec la graduation 10 cm, l'autre avec la graduation 26 cm.

La longueur de l'objet, en cm, s'obtient en calculant 26 - 10.

P1010541

Je déplace l'objet de 3 cm vers la droite, ce qui augmente de 3 les nombres qui correspondent aux extrémités de l'objet.

L'une des extrémités coïncide maintenant avec la graduation 13, l'autre avec la graduation 29.

L'objet n'a pas changé de longueur, on peut donc dire que 26 - 13 est égal à 29 - 16 sans même effectuer le calcul.

P1010542
P1010544
P1010545

J'ai fabriqué deux tours avec des cubes identiques.

La tour rouge comporte 15 cubes, la tour bleue en comporte 11.

De combien de cubes la tour rouge dépasse-t-elle la tour bleue ?

Elle la dépasse de 4 cubes, 15 - 11 = 4

Si j'ajoute 3 cubes jaunes sur chaque tour, les hauteurs sont maintenant égales à 15 + 3, soit 18 cubes et 11 + 3 soit 14 cubes.

La différence n'a pas changé, 18 - 14 = 4.

Toutes ces illustrations ont un défaut commun : il ne s'agit que d'illustrations.

Les élèves n'utilisent pas vraiment la propriété qu'on veut leur faire comprendre pour obtenir de nouveaux résultats.

Certains élèves de CE1 retiendront surtout que la maîtresse est montée sur un banc… ce qui n'a pas une très grande portée mathématique (on savait bien par avance qu'elle resterait la plus grande en montant sur le banc).

Pour tout dire, nous pensons que ces explications permettent surtout à l'enseignant de se rassurer : il n'a pas l'impression de proposer une boîte noire… mais pour la plupart des élèves ça ne change pas grand-chose.

 

La troisième possibilité est de proposer aux élèves des problèmes que la propriété visée permet de résoudre plus facilement.

Nous proposons ci-dessous un scénario de ce type.

Il convient toutefois de se demander si la propriété mathématique travaillée a une importance suffisante pour justifier tant de temps et d'énergie.

Le maître a fixé au tableau une règle graduée d'au moins 300 cm, et une bande de carton de longueur 157 cm.

Télécharger une règle de 420 cm à assembler

Le maître fait mesurer la bande par plusieurs élèves (il importe que tout le monde soit convaincu que la mesure est correcte), puis il la place le long de la règle, une des extrémités étant placée en face du 10.

Il fait constater que l'autre extrémité coïncide avec la graduation 167.

157 = 167 - 10.

Il s'agit ici de rappeler que la longueur de la bande est la différence entre les valeurs lues aux deux extrémités.

On déplace ensuite la bande et on demande aux élèves d'écrire l'égalité correspondante.

On choisit d'abord des valeurs permettant de vérifier mentalement sans difficulté la soustraction comme 159 - 2 = 157 ou 257 - 100 = 157 puis des valeurs qui ne le permettent pas comme 206 - 49 = 157 ou 221 - 64 = 157.

Bien entendu, la situation peut aussi être décrite par des égalités du type 64 + 157 = 221. Si elles sont proposées, le maître confirmera qu'elles sont correctes et précisera que le travail du jour porte sur les égalités utilisant une soustraction.

Si tout le monde semble avoir bien compris que la longueur de la bande est égale à la différence entre les graduations des deux extrémités, on peut passer à la propriété visée proprement dite.

— J'efface toutes les égalités que nous venons de trouver, sauf la dernière.

Notre baguette va de la graduation 81 à la graduation 238, et comme sa longueur n'a pas changé, elle mesure toujours 157 cm, on sait que 238 - 81 =157.

J'écris maintenant une nouvelle égalité, je vous demande de chercher quel nombre il faut écrire à la place du point d'interrogation.

soustraction22

Lors de la mise en commun, on insiste sur le fait qu'une bande dont les extrémités coïncident avec 81 et 239 est plus longue que celle du tableau : elle est formée de la bande de 157 cm, qui va de 81 à 238 et du centimètre supplémentaire entre les graduations 238 et 239.

239 - 81, c'est un de plus que 238 - 81, c'est 158.

Si le maître perçoit des doutes chez les élèves, il fait confirmer le résultat en mesurant directement avec un mètre ruban la distance entre les graduations 81 et 239 : c'est bien 158 cm.

Le travail se poursuit ensuite dans le même esprit.

soustraction23

248 - 81, c'est dix de plus que 238 - 81,

c'est 167.

soustraction23

338 - 81, c'est cent de plus que 238 - 81,

c'est 257.

soustraction23
soustraction25

Cette fois, il faut revenir à la situation du tableau pour insister sur le fait que la bande qui va de 82 à 238 est plus courte que celle qui va de 81 à 238.

238 - 82, c'est un de moins que 238 - 81,

c'est 156

soustraction25

240 - 81, c'est deux de plus que 238 - 81,

c'est 159.

soustraction25
soustraction25
soustraction25

238 - 91, c'est dix de moins que 238 - 81,

c'est 147.

soustraction25

Cette situation est évidemment celle qui intéresse le maître. En revenant à la bande du tableau, il suffit de la glisser d'un centimètre vers la droite pour passer de la situation décrite par l'égalité rouge à celle correspondant à l'égalité noire.

La bande ne change pas de longueur alors :

239 - 82, c'est autant que 238 - 81,

c'est 157.

soustraction25

Le travail se poursuit ensuite en alternant les trois situations, et en changeant de bande quand on a épuisé les valeurs numériques simples.

La conclusion de ce travail est la suivante :

Si je connais le résultat de 412 - 184, je n'ai pas besoin de calculer 413 - 185 ni 512 - 284 ni 417 - 189. Toutes ces soustractions ont le même résultat.

Si on ajoute la même chose aux deux nombres d'une soustraction, leur différence ne change pas.

 

On est maintenant prêt à utiliser cette propriété pour justifier la méthode traditionnelle de retenue dans la soustraction :

Pour effectuer 163 - 47, je commence par ajouter 10 à chaque nombre, sous forme de 10 unités pour 163 et sous forme d'une dizaine pour 47.

 

 

.