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Calculer en ligne des suites d'opérations

Le titre de cette page est un OPNI (objet pédagogique non identifié) mentionné dans les textes officiels (répartition des compétences par année du cycle 2) comme une compétence à acquérir en CE1.

Curieusement, il n'existe rien qui ressemble à ça dans les années qui suivent, à moins qu’« organiser ses calculs », mentionné en CE2 n'en soit une généralisation. Qui sait ? Les voies du ministère sont impénétrables.

Quoi qu'il en soit, nous essayons dans cette page de préciser ce qu'on peut apprendre concernant les suites d'opérations (et qui n'est pas déjà connu pour une opération isolée).

Malgré les textes officiels, ce travail nous semble relever autant voire davantage du cycle 3 que du cycle 2, c'est pourquoi nous avons placé un lien vers cette page dans les deux menus.

Première partie : suites comportant seulement des additions

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Je veux savoir combien de billes il y a en tout dans ces trois sacs.

Faut-il s'intéresser d'abord aux 24 billes du sac rouge puis ajouter les 35 billes du sac vert et enfin les 18 billes du sac bleu ?

Trouvera-t-on autant de billes si l’on s'intéresse d'abord aux billes du sac vert puis qu'on ajoute celles du sac bleu et enfin seulement celles du sac rouge ?

 

Quand on doit additionner plusieurs nombres, on peut les additionner dans l'ordre que l'on préfère, car ça ne change rien au résultat.

24 + 35 + 18 = 35 + 24 + 18 = 18 + 35 + 24…

L'ordre dans lequel on additionne les nombres ne change rien au résultat, mais il peut rendre les opérations plus faciles ou plus difficiles.

Il est plus facile de penser :

50 + 50 = 100 puis 100 + 24 = 124

que :

50 + 24 = 74 puis 74 + 50 = 124.

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Parfois, aucun ordre n'est sympathique…

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… mais le nombre de billes ne change pas si je déplace une bille d'un sac à l'autre.

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Au lieu de calculer 49 + 35 + 18, je peux calculer 50 + 34 + 18, le résultat sera le même :

49 + 35 + 18 = 50 + 34 + 18

Mais pourquoi s'arrêter en si bon chemin ?

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Au lieu de calculer 50 + 34 + 18, je peux calculer 50 + 32 + 20, le résultat sera le même :

49 + 35 + 18  =  50 + 34 + 18  =  50 + 32 + 20

Pour calculer 49 + 35 + 18, je peux alors procéder ainsi :

32 + 20 = 52

52 + 50 = 102

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Si les idées précédentes ne m'aident pas à calculer le nombre total de billes, j'ai d'autres ressources.

56 billes, c'est 5 paquets de 10 billes et encore 6 billes.

Je peux décomposer de la même façon le nombre de billes dans chaque sac, puis calculer combien il y a en tout de dizaines et de billes isolées.

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En tout, il y a 5 dizaines + 4 dizaines + 3 dizaines + 2 dizaines.

5 + 4 + 3 + 2,  c'est aussi 5 + 5 + 4, c'est 14, il y a 14 dizaines.

En tout, il y a 6 + 6 + 6 + 6 billes isolées c'est-à-dire 12 + 12 ou encore 24 billes.

14 dizaines c'est 140, si j'ajoute 20 j'obtiens 160, et j'ajoute 4, 164.

 

Cette façon de calculer la somme 56 + 46 + 36 + 26 est une des nombreuses versions possibles.

Il n'y a pas lieu de privilégier particulièrement la décomposition en centaines dizaines et unités pour effectuer une somme en ligne, encore moins d'exiger de commencer par les unités.

Le calcul en ligne doit rester un calcul réfléchi et non chercher à reproduire les algorithmes posés. Si l’on tient à l'algorithme de l'opération posée, posons l'opération, car la disposition graphique facilite le rapprochement des unités avec les unités, des dizaines avec les dizaines.

La richesse du calcul en ligne réfléchi est ailleurs : il permet de mettre en œuvre, souvent implicitement, des propriétés essentielles des nombres et des opérations.

 

 

Certains enfants ont du mal à prendre de la distance avec l'algorithme écrit, qu'ils essaient de « voir dans leur tête ».

Le format d'exercice suivant peut les aider à franchir le pas, car le calcul du résultat n'y est pas demandé. Il est même souvent impossible.

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— J'ai écrit deux calculs au tableau. Je ne vous demande pas de trouver quels sont les résultats, ce serait difficile sans poser l'opération, je vous demande seulement si les deux calculs donnent le même résultat.

Si vous êtes sûrs que c'est le même résultat, vous écrivez le signe égal sur votre ardoise. Si vous êtes sûrs que ce n'est pas le même résultat, vous écrivez un égal barré comme celui que j'écris au tableau, il veut dire " différent ".

Si vous ne savez pas, vous écrivez un point d'interrogation.

signes
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Il ne s'agit pas de devinette.

Si les élèves qui répondent par un point d'interrogation n'ont pas à se justifier, les autres doivent pouvoir expliquer leur réponse.

Pour le troisième exemple, s'il s'agit toujours de calculer le nombre total de billes contenues dans des sacs, on constate qu'on a ajouté une bille dans deux sacs sans en enlever dans le troisième, le résultat du calcul bleu sera donc plus grand (de deux) que celui du calcul rouge.

En cas de désaccord, ou simplement pour confirmer le raisonnement et se rassurer, on peut confier à deux élèves le soin d'effectuer à la calculatrice chacun un des deux calculs.

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Deuxième partie : suites comportant des additions et des soustractions.

Il nous semble important d'attirer tout de suite l'attention des élèves sur une transformation non valide de ce type de calcul ou, ce qui revient au même, sur la signification d'une suite écrite d'additions et de soustractions.

 

21 - 5 + 3 est le nombre de billes qu'on obtient si l’on prend 21 billes, qu'on en enlève 5 puis qu'on en ajoute 3.

21 - 5 + 3 est aussi le numéro de la case de la bande numérique sur laquelle on arrive si on se place sur la case 21, qu'on recule de 5 cases puis qu'on avance de 3 cases.

 

Dans l’écriture « 21 - 5 + 3 », on voit l'écriture « 5 + 3 » et on peut être tenté d'effectuer l'opération correspondante.

Il est important de faire remarquer qu'aucune des deux histoires auxquelles correspond le calcul ne parle d'ajouter 3 billes à 5 billes, ou d'avancer de trois cases en partant de la case 5.

Il faut effectuer les actions correspondant à l'écriture « 21 - 5 + 3 » et celles correspondant à l'écriture « 21 - 8 » pour se convaincre qu'il ne s'agit pas de la même chose.

 

 

En revanche, 21 - 5 + 3 aboutit au même résultat que 21 + 3 - 5, comme le montrent les schémas qui suivent.

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21 - 5 + 3  =  21 + 3 - 5

Cette constatation est d'un intérêt limité, car elle ne permet pas de comprendre pourquoi ça marche. L'égalité vient-elle du choix des nombres ou a-t-elle une portée générale.

On peut essayer avec d'autres nombres :

19 - 8 + 5 est-il égal à 19 + 8 - 5 ?

34 + 12 - 2 est-il égal à 34 - 2 + 12 ?

Multiplier les expériences permet de se convaincre que « ça marche toujours », sans toutefois en montrer la raison.

Le contexte des ajouts et des retraits est probablement plus parlant.

Je prends 21 billes

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Je prépare 3 billes que je vais ajouter aux autres (en vert à droite) et j'entoure en rouge 5 billes que je vais enlever.

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J'ajoute 3 billes

J'enlève 5 billes

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puis j'ajoute 3 billes

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puis j'enlève 5 billes

Le cheminement de droite et celui de gauche ont toujours le même effet.

On n'a pas besoin de connaître le nombre résultat pour s'en convaincre, c'est ce qui donne à cette approche une valeur générale.

Enlever 15 billes puis en ajouter 20, ça revient au même qu'ajouter 20 billes puis en enlever 15.

Cette remarque permet d'effectuer facilement certains calculs :

345 + 174 - 45 = 345 - 45 + 174 = 300 + 174 …

131 - 42 + 11 = 131 + 11 - 42 = 142 - 42…

Elle ne dit rien sur beaucoup d'autres calculs.

Comment par exemple effectuer en ligne 369 - 91 - 69 -38 - 22 ?

Commençons par des nombres plus simples.

Je dispose des 21 billes dessinées ici, et je veux enlever toutes celles qui ont été entourées.

 

Je peux :

enlever les rouges puis les bleues puis les vertes

ou bien :

enlever les bleues puis les vertes puis les rouges

ou encore :

enlever toutes les billes entourées d'un seul coup.

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Il est clair que le nombre de billes restantes sera le même dans les trois cas : les mêmes billes sont enlevées.

S'il y a plusieurs groupes de billes à enlever, on peut les enlever en plusieurs fois ou en une seule fois, ça ne change rien au résultat.

S'il y a plusieurs déplacements en reculant, on peut reculer plusieurs fois ou en une seule fois, ça ne change rien au résultat

En traduisant ça par des écritures mathématiques, on obtient :

21 - 5 - 3 - 2 = 21 - 3 - 2 - 5 = 21 - 10

 

On remarquera que, formulée ainsi, la propriété est valable pour des additions et pourrait être rajoutée à la première partie de ce document :

S'il y a plusieurs groupes de billes à ajouter, on peut les ajouter en plusieurs fois ou en une seule fois, ça ne change rien au résultat.

Ce nouveau type de transformation permet d'effectuer facilement de nouveaux calculs :

315 - 60 - 40 = 345 - 100…

231 - 132 + 32 = 131 - 100 - 32 + 32…

Ce dernier exemple montre que la transformation pertinente ne consiste pas toujours à regrouper, mais parfois à dissocier.

Par ailleurs, pour terminer ce calcul, on utilisera probablement une autre idée qui paraîtra évidente aux élèves dès qu'ils seront un peu habitués à réfléchir aux transformations du calcul avant de se précipiter à effectuer les opérations : si j'enlève 32 puis que j'ajoute 32, c'est comme si je n'avais rien fait.

À ce stade, on peut toujours alterner des exercices demandant d'effectuer un calcul en ligne et d'autres demandant de juger si deux expressions sont égales, mais on dispose de suffisamment de variété pour proposer aux élèves d'inventer eux-mêmes des expressions égales à une expression donnée.

— J'ai écrit un calcul au tableau, je ne vous demande pas de l'effectuer, mais d'inventer d'autres calculs qui ont le même résultat. Quand vous avez trouvé un calcul valant autant que le mien, vous l'écrivez sur un des petits papiers que je vous distribue, sans oublier de marquer votre nom.

Je ramasserai ensuite les petits papiers et nous en tirerons quelques-uns au sort que nous vérifierons.

Le nom est important pour que l'auteur puisse expliquer comment il sait que son calcul vaut autant que le mien si tout le monde n'est pas d'accord.

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Là encore, la calculatrice permet en dernier recours de trancher un désaccord.

 

Nous n'avons pas dans cette page envisagé toutes les transformations possibles d'une suite d'additions et de soustractions, mais nous espérons avoir montré en quoi cette compétence des programmes, qui peu paraître farfelue ou exotique, est en fait riche de nombreuses découvertes mathématiques et peut contribuer à faire progresser les élèves en calcul réfléchi bien au-delà du CE1 pour lequel elle est proposée de façon très optimiste.

 

 

 

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