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Formules de calcul d'aires.

Cette page s'appuie sur la vision de l'aire proposée ici.

Il serait prudent de s'assurer avant d'aller plus loin que cette façon de voir les choses vous convient et convient à vos élèves.

On présente ici un exposé du maître. Cela n'empèche pas de proposer si on le souhaite des situations de recherche sur ce sujet aux élèves. L'exposé ci-dessous peut alors servir de conclusion.

Cependant, les contraintes de temps interdisant de proposer des situations de recherche sur tous les sujets, il nous semble que le calcul de l'aire du rectangle peut être traité de façon frontale et magistrale sans inconvénient car sa compréhension ne présente pas de difficulté majeure, du moins quand les dimensions sont entières.

On aura avantage à utiliser le temps ainsi gagné pour des situations de recherche préalables comme celle-ci ou pour des exercices d'application un peu subtils.

Le calcul de l'aire du triangle est plus délicat. Le contenu de cette page correspond à plusieurs séances avec les élèves.

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–Imaginez que vous voulez connaître l'aire du rectangle rouge, c'est à dire savoir combien il faut de centimètres carrés verts pour le recouvrir.

Comment vous y prendrez-vous ?

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Certainement pas comme ça : il y aurait des trous difficiles à remplir, on serait obligé de découper les centimètres carrés, ça ne serait pas pratique tu tout.

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C'est beaucoup plus malin de commencer comme ça : j'aligne des centimètres carrés le long d'un des côtés du rectangle.

Les centimètres carrés sont des carrés qui ont des côtés de un centimètre, alors je peux faire une rangée de 9 centimètres carrés.

Ensuite, je peux faire une deuxième rangée de neuf centimètres carrés juste en dessous (en rouge), puis une troisième (en noir) et comme le rectangle a 5 centimètres de large, je peux faire 5 rangées de centimètres carrés.

Le rectangle est recouvert par 5 rangées de centimètres carrés, et il y a 9 centimètres carrés dans chaque rangée.

On peut recouvrir le rectangle avec 5 fois 9 centimètres carrés.

L'aire du rectangle est 5 x 9 centimètres carrés.

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Bien entendu, on peut aussi commencer à placer les centimètres carrés comme ça.

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Le rectangle contient 9 colonnes, et chaque colonne contient 5 centimètres carrés.

On peut recouvrir le rectangle avec 9 fois 5 centimètres carrés.

L'aire du rectangle est 9 x 5 centimètres carrés.

On trouve dans les livres la formule suivante :

Aire du rectangle = Longueur x largeur

C'est une façon de résumer ce que je viens de vous expliquer.

Si le hasard fait que la longueur et la largeur du rectangle sont égales, ça ne change rien… On a un carré mais son aire se calcule de la même manière que pour les autres rectangles.

Cette formulation est discutable dans la mesure où, pour la plupart des élèves de cycle 3, les carrés ne sont pas des rectangles particuliers : l'ensemble des carrés et celui des rectangles sont perçus comme disjoints.

Cependant, insister sur le fait que du point de vue de l'aire le carré se comporte comme le rectangle peut contribuer à préparer la réorganisation qui sera nécessaire dans l'enseignement secondaire : les carrés sont des rectangles particuliers.

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Quand on trace une diagonale d'un rectanle, le rectangle est découpé en deux triangles rectangles identiques.

Puis qu'ils sont identiques, chacun des deux contient autant de centimètres carrés.

Par exemple, ce rectangle contient 12 x 4 = 48 centimètres carrés

alors chacun des deux triangles rectangles en contient la moitié : 24 centimètres carrés.

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Comment calculer l'aire de ce triangle rectangle ?

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Je commence par fabriquer (ou seulement imaginer) un rectangle avec deux triangles identiques.

Je calcule ne nombre de centimètres carrés pour recouvrir le rectangle : il en faut 6 x 10 = 60 centimètres carrés.

Comme le rectangle est formé de deux triangles identiques, chaque triangle contient

60 : 2 = 30 centimètres carrés.

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Et si le triangle n'est pas rectangle ?

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Je peux le découper en deux triangles rectangles en traçant une hauteur (détails ici)

Je calcule ensuite l'aire de chaque triangle rectangle, puis j'additionne les deux résultats.

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Je peux aussi utiliser une astuce qui permet parfois d'aller un peu plus vite :

Je dessine le rectangle formé avec deux triangles jaunes et le rectangle formé avec deux triangles bleus.

Je m'aperçois qu'en dessinant ces deux petits rectangles, j'en ai aussi formé un grand.

Dans ce grand rectangle, il y a une partie coloriée (mon triangle initial) et une partie blanche.

Les deux triangles numéro 1 sont identiques, les deux triangles numéro 2 sont identiques.

La partie coloriée comprend un triangle numéro 1 et un triangle numéro 2.

La partie blanche comprend un triangle numéro 1 et un triangle numéro 2.

La partie colorée et la partie blanche sont formées avec les même morceaux. Si j'essaie de les recouvrir avec des centimètres carrés, il en faudra autant.

Par exemple, si chaque triangle "1" se recouvre avec 20 centimètres carrés et chaque triangle "2" avec 30 centimètres carrés, la partie colorée se recouvre avec 50 centimètres carrés et la partie blanche aussi.

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Le triangle initial remplit donc la moitié du grand rectangle.

Pour calculer l'aire du triangle, on calcule celle du rectangle puis on la divise par 2.

En utilisant la formule qui résume le calcul de l'aire d'un rectangle, cela donne :

 

Aire du triangle =

(Longueur du rectangle x largeur du rectangle) : 2

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Les mathématiciens ont plutôt l'habitude de dire la même chose en employant des mots qui parlent du triangle, et pas du rectangle.

 

La longueur du rectangle est aussi un des côtés du triangle. Le côté du triangle qu'on utilise pour calculer l'aire est appelé "base".

La largeur du rectangle est égale à la hauteur tracée dans le triangle.

 

Si on remplace les mots "longueur" et "largeur" par les mots "base" et "hauteur" on obtient la formule qu'on trouve en général dans les livres et qui résume tout ce qu'on vient de faire :

Aire du triangle = (Base x hauteur) : 2

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Cette formule est bien difficile à comprendre si on ne pense pas au rectangle…