Primaths2 tirelire

L'aire, qu'est-ce que c'est ?

L'approche de la notion d'aire proposée ici souffre de deux (petits) défauts.

Elle est fausse.

Elle n'est pas conforme au point de vue didactique qui était repris dans les programmes de 2002 et résumé par l'expression "les grandeurs avant leur mesure".

centimetrescarres

Les raisons de ce choix sont précisées dans le document déléchargeable ci-dessous.

Les raisons du choix.

—Voici des petits carrés, ils sont tous identiques.

Ils vont nous servir à recouvrir des figures.

figure1

Prenons cette figure par exemple…

figure3
figure2

Pour la recouvrir, il faut un carré, deux, trois… et huit.

En mathématiques, il y a une expression pour dire ça : on dit que l'aire de la figure est 8 carrés rouges.

figure5

Cette nouvelle figure peut se recouvrir avec 11 carrés rouges.

L'aire de cette figure est 11 carrés rouges.

figure4

Cette figure peut se recouvrir avec 4 carrés rouges.

Il a fallu découper un carré en deux triangles, mais on a bien réussi à recouvrir la figure avec 4 carrés,

l'aire de cette figure est 4 carrés rouges.

figure7
figure6

Avec 10 carrés rouges, on recouvre entièrement cette nouvelle figure, et même un peu plus.

Il faut un peu moins de 10 carrés rouges pour recouvrir la figure.

L'aire de la figure est un peu moins de 10 carrés rouges.

figure10
figure9

Maintenant, je vais vous montrer deux figures, et vous devrez me dire laquelle des deux a la plus grande aire.

figure8

Alors, quelle figure a la plus grande aire, la rouge ou la bleue ?

—On ne sait pas, il faudrait prendre des carrés rouges pour les recouvrir.

figure11

—Evidemment, on pourrait essayer de les recouvrir, mais ce n'est pas nécessaire : est-ce que ça vous semble plus facile en plaçant les figures comme ça ?

 

—euh…

 

—Je vais expliquer pour ces figures : je ne vais pas les recouvrir avec des carrés, mais je vais imaginer que je le fais.

J'imagine que j'ai fini de recouvrir la figure bleue, toute la zone hachurée est recouverte par des carrés rouges habilement découpés… je n'ai pas fini de recouvrir la figure rouge, il me reste toute la zone blanche à recouvrir.

Pour recouvrir la figure rouge il me faut plus de carrés que pour la figure bleue, l'aire de la figure rouge est plus grande que celle de la figure bleue.

Vous avez compris ? Je vous montre deux autres figures et vous essayez de dire laquelle a la plus grande aire.

figure12

Pour procéder aux superpositions et découpages de figures qui permettent de conclure, il faut évidemment que les figures proposées soient découpées dans du papier et non dessinées sur le tableau.

figure13

Quelle figure a la plus grande aire, la verte ou la orange ?

—La verte, il faut beaucoup plus de carrés pour la recouvrir.

—Vous êtes d'accord avec ça ?

—Oui, oui…

—J'ai bien la même impression que vous, mais nous allons vérifier. Anne va venir au tableau et vérifier pour la classe si nous avons raison.

 

—Anne, tu vas découper la figure orange et essayer de placer les morceaux dans la figure verte…

figure14
figure15

Alors, est-ce que nous avions bien prévu ?

—Oui, il faut plus de carrés pour recouvrir la figure verte, parce que la figure orange tient complètement dans la verte.

—Très bien, l'aire de la figure verte est plus grande que celle de la figure orange, comme nous l'avions prévu.

Pour finir notre première séance de travail sur l'aire, nous allons construire ensemble un musée de l'aire… pour ça, je vais vous donner des petites feuilles carrées, et nous allons essayer d'inventer d'autres figures qui ont toutes la même aire que ces petites feuilles.

Je vous donne un exemple pour commencer…

 

Quelques minutes plus tard, le tableau se couvre de nombreuses figures ayant toutes la même aire. Chaque figure est obtenue en découpant une feuille carrée et en assemblant les morceaux dans une position différente.

En voici quelques exemples :

figure16