Primaths2 tirelire

La scène se déroule dans une classe de CM2, ou un CM1 dans lequel on a déjà travaillé sur la notion d'aire.

Le maître est devant son tableau et demande aux élèves d'observer ce qu'il va faire.

Il est souhaitable que cette situation de recherche ait été proposée aux élèves préalablement.

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Voici un triangle en papier, je l'affiche au tableau et je vais le transformer devant vous.

Je dessine un petit triangle sur le triangle en papier

Je découpe le petit triangle.

Je retourne le petit triangle à l'envers (les tracés de couleur sont maintenant tournés vers le tableau).

Je recolle les deux morceaux selon le segment en pointillé sur lequel j'ai coupé.

Je repasse les segments coloriés de la même couleur (le petit en vert, le grand en marron).

Je rajoute un petit triangle vert pour "boucher le trou" et obtenir un quadrilatère.

Pour que les élèves puissent prendre en compte les différentes étapes, il faut qu'elles restent présentes au tableau simultanément. Le maître a donc préparé un exemplaire de chaque étape, qu'il fixe au tableau à côté de la précédente.

Quand on pense que le procédé est bien compris, on ne laisse que les trois étapes principales, on les nomme… et on en arrive à la question.

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A

B

C

Vous aller devoir comparer le périmètre de la figure A avec celui de la figure B.

A cette question, il n'y a que trois réponses possibles :

Le périmètre de A est plus grand que celui de B.

Le périmètre de B est plus grand que celui de A.

Les deux figures ont le même périmètre.

Si le maître n'est pas certain que tous les élèves se souviennent de ce qu'est le périmètre d'une figure, il le rappelle avant de les laisser travailler : c'est la longueur du trait qui fait le tour de la figure.

Attention, vous n'avez pas le droit de vous déplacer pour venir mesurer.

Bien entendu, c'est un travail de mathématique et pas de devinette, vous devez donc dire pourquoi vous pensez que votre réponse est juste.

 

Quand votre groupe s'est mis d'accord, il écrit sa réponse et surtout son explication sur la feuille que je vous donne.

Lors de la mise en commun, l'explication attendue est à peu près celle-ci :

Pour faire le tour de la figure A, je passe sur le trait jaune, le vert et le marron.

Pour faire le tour de la figure B, je passe sur les mêmes traits, je fais autant de chemin, les périmètres sont les mêmes.

Si aucun groupe ne trouve d'argument approchant, le maître fournit la réponse et demande aux élèves s'il est nécessaire de mesurer pour vérifier. Il espère que les élèves jugeront que ce n'est pas nécessaire, mais si certains ne se déclarent pas convaincus par l'égalité, on procède à la mesure sur le tableau, et on écrit les deux calculs, par exemple :

Périmètre de A = 53 cm + 13 cm + 5 cm

Périmètre de B = 53 cm + 13 cm + 5 cm

Le résultat des sommes n'est volontairement pas écrit, on espère que les élèves qui n'auraient pas été convaincus par la présence de morceaux identiques le seront par des opérations identiques.

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Nous reprenons le même travail, mais vous devez maintenant comparer le périmètre de B avec celui de C.

Cette fois, la réponse attendue après mise en commun est que le périmètre de la figure C est plus court.

Quand on fait le tour des deux figures, la partie en rouge est la même, on fait autant de chamin, mais le trait noir est plus court que le trait vert : on va tout droit d'un point à un autre en suivant le trait noir, alors qu'on fait un détour en suivant le chemin vert.

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Vous allez travailler en groupes une troisième et dernière fois, mais cette fois-ci, je vous pose deux questions :

Première question : comparez les périmètres des figures A et C.

Deuxième question : comparez les aires des figures A et C.

Les réponses attendues sont :

Le périmètre de C est plus petit que celui de B et le périmètre de B est le même que celui de A, alors le périmètre de C est plus petit que celui de A.

L'aire de C est plus grande que celle de A, parce que la figure C est formée avec les deux morceaux de la figure A et qu'on a rajouté le triangle vert. Il y a plus de papier dans la figure C, l'aire est plus grande.

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A

B

C

Vous allez travailler en groupes une troisième et dernière fois, mais cette fois-ci, je vous pose deux question :

Première question : comparez les périmètres des figures A et C.

Deuxième question : comparez les aires des figures A et C.

Les réponses attendues sont :

Le périmètre de C est plus petit que celui de B et le périmètre de B est le même que celui de A, alors le périmètre de C est plus petit que celui de A.

L'aire de C est plus grande que celle de A, parce que la figure C est formée avec les deux morceaux de la figure A et qu'on a rajouté le triangle vert. Il y a plus de papier dans la figure C, l'aire est plus grande.

 

Conclusion du travail : quand on compare deux figures, celle qui a le plus grand périmètre n'a pas forcément la plus grande aire.

 

Prolongements possibles :

Essayer d'appliquer le même procédé pour augmenter l'aire tout en diminuant le périmètre à d'autres figures (un autre triangle, un carré, la figure C de cette séance…)

Chercher d'autres façons de déformer le triangle en se fixant des contraintes (augmenter l'aire et le périmètre en même temps, diminuer l'aire en augmentant le périmètre, augmenter le périmètre sans changer l'aire…).