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Les maths des petits cubes

On trouve dans beaucoup d'école des lots de petits cubes pouvant s'assembler face contre face. Il en existe différents modèles. Certains ne peuvent s'assembler que pour former des barres de différentes longueurs. D'autres peuvent s'assembler dans plusieurs directions et permettent donc de construire des solides variés. C'est ce type de cube que nous allons utiliser.

Que peut-on fabriquer avec cinq cubes ?

Cinq est un petit nombre, trouver tous les solides que l'on peut fabriquer avec cinq cubes ne semble donc pas un bien grand défi, surtout qu'il s'agit d'un défi collectif.

Si nécessaire, on précisera qu'on ne tient pas compte de la place des ergots (les deux objets ci dessous sont considérés comme identiques) et qu'on assemble toujours les faces exactement l'une sur l'autre (les objets de droite ne sont pas acceptés sinon il y aurait trop de possibilités).

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Après plusieurs phases de travail (invention de solides, élimination des doublons…) il se peut qu'on obtienne une collection ressemblant à celle-ci :

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Il serait surprenant que cette collection n'ait pas quelques petits défauts :

les solides entourés en rouges sont identiques, celui entouré en bleu comporte six cubes, un autre n'en a que quatre.

Sommes nous d'ailleurs certains qu'il n'y a pas d'autres doublons ? Et comment savoir s'il n'y a pas d'oublis ?

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Pour rendre plus aisée la réponse à ces questions, il est utile de classer les solides fabriqués en plusieurs familles.

Nous vous proposons ici plusieurs classements.

Il n'est pas nécessaire d'envisager avec une classe tous les classements proposés ici, néanmoins classer les solides obtenus selon plusieurs critères différents enrichit la connaissance que l'on a des solides.

Premier classement : selon le nombre de petits cubes qu'on peut poser simultanément à plat sur la table.

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Pour certains solides, on peut poser les cinq petits cubes sur la table en même temps.

Avec le matériel que nous utilisons, il faut imaginer que les ergots n'existent pas, ou bien les orienter de façon à obtenir une face constituée de cinq carrés percés.

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Pour d'autres solides, on peut ne peut pas poser les cinq petits cubes sur la table en même temps, mais on peut en poser quatre.

On remarque sur cette photo que des objets "jumeaux" ont été placés côte à côte. Il s'agit d'objets dont l'un est l'image de l'autre dans un miroir, mais qu'on ne peut pas faire coïncider exactement même en les tournant dans tous les sens : ils ne sortent pas du même moule.

Cete remarque n'aura pas lieu nécessairement à ce stade, mais on peut parier (et souhaiter) qu'elle viendra tôt ou tard.

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Il y en a même certains pour lesquels on ne peut poser que trois petits cubes à la fois sur la table.

On peut alors se demander s'il est possible d'obtenir des solides pour lesquels on ne peut poser que deux cubes simultanément sur la table.

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Cela semble impossible : dès qu'on assemble deux cubes, on peut en poser deux simultanément sur la table…

 

et pourtant c'est bien le cas pour ce solide, certes formé de sept cubes et non de cinq, mais tout de même.

Si on veut creuser la question, on peut poser deux cubes ou trois cubes de ce solide simultanément sur la table comme l'indiquent ces photos…ce qui obligerait à préciser ce que l'on entend par là.

Il est peu probable que des élèves proposent de telles subtilités, mais si c'est le cas n'oublions pas de les féliciter.

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Deuxième classement : selon la longueur de la plus grande barre que l'on peut trouver dans le solide.

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Troisième classement : selon le nombre de faces

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Compter les faces est un peu fastidieux, mais en s'organisant on parvient à ce que montrent les photos.

 

Une quasi-certitude se fait jour : le nombre de faces du solide obtenu en assemblant 5 petits cubes est toujours pair !

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Mais une quasi-certitude n'est pas une certitude.

Voici une magnifique occasion d'apprendre que l'accumulation d'exemples n'est pas une preuve.

Quatrième classement :

Selon le nombre de petits cubes fixés sur un même cube.

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Il y a un petit cube sur lequel les quatre autres sont fixés.

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Il n'y a pas de petit cube sur lequel les quatre autres sont fixés mais il y en un sur lequel trois cubes sont fixés.

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Il n'y a pas de petit cube sur lequel les quatre autres sont fixés.

Il n'y en a pas non plus sur lequel trois cubes sont fixés.

Cinquième classement : on range les objets dans des boites (en forme de pavés droits). Les objets sont classés selon la plus petite boite dans laquelle on peut les ranger.

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Voici les différentes boites utiles, nous vous laissons le soin et le plaisir de trouver pour chaque solide quelle est la plus petite boite qui permet de le ranger.

Bien entendu, on imagine que les ergots ont disparu avant de ranger le solide dans la boite.

Autres classements : les propositions ci-dessus n'épuisent pas le sujet, elles ont seulement pour but de montrer que les solides qui ont été fabriqués peuvent être analysés à partir de multiples points de vue.

Contrairement à ce que laissent croire les programmes, et plus encore certains manuels, compter les faces les sommets et les arêtes d'un polyèdre n'épuise pas ce qu'on peut en dire.

On pourrait par exemple distinguer les solides qui entrent dans le même moule que leur reflet dans le miroir et ceux qui n'entrent pas dans le même moule (qui ont un jumeau).

On peut compter les arêtes, les sommets, les faces constituées d'un seul carré, les faces concaves, mesurer la longueur totale des arêtes (l'unité de longueur étant l'arête d'un petit cube pour ne pas compliquer inutilement les choses)…

Si on a utilisé plusieurs classements, on peut dresser la carte d'identité d'un objet, sur laquelle figure toutes les caractéristiques étudiées.

Cependant, si cet objet a un jumeau aucun des classements envisagés ici ne permet de le distinguer de son jumeau…

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On peut poser 4 cubes de ce solide simultanément sur la table.

Il tient dans une boite de dimensions 2, 2 et 3.

La plus grande barre qui le constitue est formée de 3 cubes.

Un des cubes est collé à 3 autres cubes.

Il a 12 faces dont trois sont concaves et 7 sont constituées d'un seul carré…