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Vues du cube

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Voici un même cube vu sous plusieurs angles.

En décalquant une de ces photos, on obtient ceci :

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Un petit tour par la photocopieuse, et les dessins analogues à celui-ci réalisés à partir des différentes photographies se retrouvent sur des transparents.

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En se plaçant par rapport au cube au même endroit que l'appareil photo, on peut faire coïncider exactement les tracés du transparent et les arêtes du cube réel.

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La tâche n'est pas facile du tout.

Pour parvenir à faire coïncider les arêtes de l'objet réel et celles dessinées sur le transparent, il faut agir sur le point où on place son œil, mais aussi sur la distance entre l'œil et le document, ainsi que sur l'orientation de celui-ci.

La formulation exacte de la question est importante. Si on demande dans les termes utilisés plus haut de retrouver le point d'où on voit le cube pour chaque transparent, la séance, et spécialement la mise en commun risque d'être cahotique, d'autant que pour chaque transparent il y a généralement plusieurs points possibles à cause des symétries du cube. De plus, le cube peut avoir bougé au cours du travail, ce qui modifie évidemment le point où doit se placer l'observateur.

Nous proposons donc la formulation suivante :

Ces transparents ont été fabriqués à partir d'une photo. Si je me mets juste à l'endroit où était l'appareil photo, je peux réussir à placer tous les traits du dessin juste sur les arêtes du cube : le dessin cache exactement le cube. (le maître montre, fait venir quelques élèves qui confirment).

C'est possible avec tous les transparents, sauf un d'entre eux qui est un intrus. Je l'ai fabriqué sans utiliser de photo.

Votre travail est de retrouver l'intrus. Vous allez essayer de le trouver seulement en imaginant l'objet, puis vous irez vérifier.

La mise en commun est ainsi nettement facilitée puisque s'il y a désaccord, la question que la classe devra trancher sera du type "l'intrus est-il le transparent numéro 3 ou le numéro 5 ?" ce qui est facile à trancher en indiquant comment faire coïncider le transparent 3 avec le cube. L'intrus est alors le 5.

La validation est faible d'un point de vue logique : le fait qu'on ne parvienne pas à faire coïncider la vue 5 avec le solide ne prouve pas que c'est impossible. L'existence d'un intrus repose largement sur la confiance en la parole du maître. Mais si on a réussi a trouver le point de vue correct pour toutes les autres vues et que la vue 5 résiste aux recherches de l'ensemble de la classe on peut être raisonnablement convaincu que cette vue est un intrus.

Nous ne saurions trop vous encourager à rechercher vous même l'intrus parmi les vues du cube que nous proposons…il se peut que vous soyez surpris.

Télécharger les vues du cube

On ne peut pas envisager que chaque élève passe à tour de rôle pendant que les autres attendent. L'attente serait beaucoup trop longue et engendrerait l'ennui ou l'agitation.

Deux types d'organisation au moins rendent le travail proposé dans cette page possible :

  • La consigne est donnée collectivement puis les élèves ou les petits groupes d'élèves passent à tour de rôle pendant que les autres se livrent à un autre travail, pas nécessairement de nature mathématique. L'activité se déroule au fond de la classe ou dans un local contigu (couloir, atelier s'il existe…). Cette version est possible avec un seul cube et un seul jeu de transparents, il est néanmoins préférable de prévoir le matériel en double ou triple exemplaire. Le déroulement en sera d'autant moins long ce qui évitera que les élèves qui passent en dernier aient oublié les consignes et que ceux passés en premier aient oublié ce qu'ils ont fait au moment de la mise en commun.
  • Le travail se fait par petits groupes de trois ou quatre élèves, qui effectuent simultanément la recherche proposée. Il faut alors prévoir un solide et un jeu de transparents par petit groupe. Cette contrainte peut être utilisée par le maître pour motiver un travail préalable : il faut fabriquer les solides. Une technique de réalisation de solides à partir de leurs arêtes est proposée ici. On peut envisager que le maître réalise lui même un exemplaire de chacun des solides qu'il veut utiliser et confie aux élèves la réalisation des autres

 

Voici quelques idées d'autres tâches que l'on peut proposer aux élèves sur le même sujet :

On fabrique plusieurs solides différents et on fournit à chaque groupe d'élève un jeu de transparents comportant une ou deux vues de chaque solide. Il faut associer chaque vue au bon solide.

On dessine à main levée des vues du cube ou d'un autre solide en essayant de varier au maximum les points de vue.

On peut ensuite classer les vues produites, chercher parmi les vues produites si certaines sont erronées…

 

Qu'apprend-on à travers ces activités ?

On peut comprendre que la représentation sur un plan (feuille de papier, tableau) d'un objet en volume est difficile : il y a plusieurs dessins possibles du même objet.

On remarque que les faces du cube sont le plus souvent déformées : on sait qu'il ait fabriqué avec 6 faces qui sont des carrés, mais si on dessine 6 carrés, ça ne ressemble pas du tout à une vue du cube.

On facilite la compréhension de la convention des arêtes dessinées en pointillé (celles qui sont vues à travers une face).

On peut comprendre que le dessin le plus habituel du cube ne correspond à aucun point de vue réel, c'est une convention qui simplifie les choses : certaines faces ne sont pas déformées, ce qui est parallèle sur l'objet est parallèle sur le dessin… Remarque : si vous avez essayé vous même de trouver l'intrus, il n'est pas certain que vous ayez choisi la vue en perspective cavalière du cube, si familière, comme étant l'intrus.

 

Comment fabriquer des solides à partir de leurs arêtes sans y passer trop de temps ?

Nous vous proposons de fabriquer pour commencer les huit petites pyramides qui renforceront les sommets de votre cube.

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sommet

Pour fabriquer les pyramides, imprimez et de découpez les carrés de la fiche téléchargeable. Coupez une demi diagonale, collez l'un sur l'autre les deux triangles grisés et le tour est joué.

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Télécharger les renforts de sommets.

Les arêtes du cube sont des brochettes en bois ou tout autre type de baguettes légères et d'égales longueurs dont on dispose.

Il suffit de fixer les baguettes à l'aide d'adhésif le long des arêtes des petites pyramides pour obtenir un cube assez résistant.

Pour ceux qui veulent aller plus loin, vous pouvez télécharger ici des vues et les renforts de sommets permettant de fabriquer plusieurs autres solides.

Tous ces solides ont en commun les caractéristiques suivantes :

  • toutes les arêtes ont la même longueur.
  • les faces sont soit des carés, soit des triangles équilatéraux, soit des losanges ayant des angles de 60° (ce qui revient à dire qu'ils peuvent être découpés en deux triangles équilatéraux.
Vues de divers solides
Renforts pour les sommets des solides

Au cas où vous auriez un peu de mal à imaginer à quoi ressemblent les solides à fabriquer, vous trouverez ici des patrons à découper et à coller pour en réaliser des versions réduites qui peuvent servir de modèle.

Patrons de modèles réduits des solides

Pour terminer, un petit plaidoyer pour une proposition qui nous semble relever de l'évidence :

pour que les élèves apprennent quelque chose sur les solides, il faut qu'ils disposent de solides.

Cette simple affirmation suffit à disqualifier le travail proposé dans certains manuels.

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Seuls quelques manuels proposent un travail s'appuyant sur l'observation d'objets réels, comme dans cet extrait de Cap Maths…

Evidemment, ce travail suppose d'avoir préparé à l'avance la collection de solides (pour Cap Maths, les patrons sont fournis avec le matériel photocopiable).

Il est imposssible d'effectuer un travail sérieux sur les solides sans solides.

Malheureusement, beaucoup d'auteurs de manuels ne sont pas aussi scrupuleux et ne font pas de distinction claire entre objet et dessin de cet objet. On rencontre alors de magnifiques absurdités.

Les extraits suivants sont tirés de manuels destinés au CE1.

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L'objet dessiné doit être identifié comme une pyramide…mais comment savoir si c'en est une sans disposer de l'objet ?

La partie cachée peut parfaitement être courbe, creuse…

Et même en admettant qu'il s'agit bien d'une pyramide, comment savoir si la base a 3 côtés, 4 côtés, ou plus ?

Un élève qui répond correctement pour le premier objet reconnait probablement le dessin d'un cube, et il sait que le cube a des faces planes.

Le véritable apprentissage mathématique serait précisément de comprendre que le dessin seul ne permet pas de savoir s'il s'agit d'un cube : on ne sait pas à quoi ressemblent les parties cachées, et même si on admet qu'il s'agit d'un pavé, on ne sait pas si les faces déformées par le dessin sont des carrés.

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Voici une magnifique synthèse associant une affirmation sans grand intérêt et une affirmation fausse.

Il suffit en effet de scier obliquement un tasseau de bois pour obtenir un solide n'ayant que des faces planes et qui ne tient pas à plat dans toutes les positions.

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Et voici peut-être le degré ultime de la confusion entre solide et représentation de ce solide.

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