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Multiplier par 10 un nombre décimal

Quelques remarques préalables

 

Les élèves savent déjà multiplier par 10 un nombre entier.

Le maître chargé de cette question ne s'est probablement pas contenté d'enseigner un truc formel (pour multiplier par 10, il suffit d'écrire un zéro à la droite du nombre) mais les élèves ont remarqué que ce truc marche.

Il ne serait pas surprenant que les explications données par le maître soit oubliées et que seule la "règle du zéro" subsiste pour les élèves, ce qui ne veut pas dire qu'il ne fallait pas donner d'explications.

Quand les élèves apprennent la "règle du zéro" ils ne connaissent que les nombres entiers, qu'on n'appelle pas encore ainsi : ce sont tout simplement "les nombres". On ne peut donc pas s'attendre à ce que les élèves pensent "pour multiplier un nombre entier par 10".

Ils se disent plutôt "pour multiplier un nombre par 10"…porte ouverte à toutes les erreurs classiques consistant à appliquer aux décimaux une règle limitée aux entiers.

 

 

Les règles données pour les décimaux par certains manuels sont fausses :

Pour multiplier par 100 un nombre décimal, on déplace la virgule de deux rangs vers la droite.

virgule

Il s'agit d'un truc formel, quasi magique, d'une boîte noire, ce qu'on ne peut pas toujours éviter, mais quand on choisit de recourir à un truc, le moins qu'on puisse en attendre est qu'il fournisse le résultat exact.

Ce n'est pas le cas de la règle ci-dessus pour le deuxième exemple.

Cela n'empèchera pas certains élèves de réussir, mais ceux qui se tromperont en appliquant scrupuleusement la règle enseignée par le maître auront de bonnes raisons de trouver le procédé déloyal.

Combien valent 10 fois 3,2 ?

3,2 est plus grand que 3, alors 10 fois 3,2 est plus grand que 10 fois 3

3,2 est plus petit que 4, alors 10 fois 3,2 est plus petit que 10 fois 4

10 fois 3,2 c'est plus grand que 30 et plus petit que 40.

Mais entre 30 et 40 il y a beaucoup de nombres :

35 39,2 30,2 32 33,22 32,32 34,25

Comment savoir lequel est égal à 10 fois 3,2.

materielconcret1plaquede100

Pour le savoir, nous allons utiliser des plaques comme celle-ci.

Nous allons compter des plaques, autrement dit quand je dirai ou écrirai "1", ça sera une plaque, quand j'écrirai 10 cela voudra dire 10 plaques (qui, placées les unes sur les autres, permettent de former un cube) quand j'écrirai 0,1 ou 1/10, ce sera un dixième de cette plaque, c'est à dire une ce ces barres :

materielconcret1cubede1000
materielconcret10barresde10

En recoupant les barres qui valent chacune 1/10 de plaque en 10 parties égales, on obtient de petits cubes qui sont des centièmes de plaque.

materielconcret100unites
plaques

 

3,2 plaques

c'est 3 plaques et deux dixièmes de plaque

 

10 fois 3,2 plaques c'est ça :

fois32plaques

On a 30 plaques et 20 barres, mais comme 10 barres peuvent se regrouper en une plaque cela fait 32 plaques.

10 fois 3,2 plaques, c'est 32 plaques.

10 x 3,2 = 3,2 x 10 = 32

Ce que nous venons de trouver est conforme à ce que nous avions prévu (entre 30 et 40).

C'est probablement le bon moment pour voir ce qu'en pense la calculatrice… elle est d'accord.

La manipulation peut être refaite une ou deux fois avec d'autres nombres, mais elle reste assez lourde, comment procéder en se passant du matériel ?

Utilisons un tableau de numération.

Représentons dans le tableau les 3,2 plaques

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

3

2

Considérons maintenant 10 fois 3,2 plaques… ce qui est représenté un peu plus haut sur la photo peut se noter ainsi dans le tableau :

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

30

20

Cependant, pour écrire le nombre à l'extérieur du tableau, quelques précautions sont nécessaires.

En effet, écrire 30 dans la colonne "unités" du tableau ou 20 dans la colonne "dixièmes" n'entraine aucune ambiguïté, mais dans l'écriture usuelle des nombres décimaux il n'y a qu'un chiffre qui désigne des unités, et un seul des dixièmes.

Commençons par transformer 20 dixièmes en 2 unités (c'est à dire à regrouper les 20 barres 10 par 10 pour former 2 plaques).

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

32

Il est maintenant plus facile d'écrire le nombre hors du tableau : 10 fois 3,2 c'est 32.

 

Cependant, cette façon de faire ne permet pas bien de décrire simplement une façon d'effectuer la multiplication par 10, essayons une autre présentation en remplaçant non seulement 20 dixièmes par 2 unités mais aussi 30 unités par 3 dizaines

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

3

2

Si on ne remarque toujours rien, rajoutons une ligne au tableau afin de faire figurer à la fois le nombre de départ et le nombre multiplié par 10.

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

Valeur de départ

3

2

Valeur multipliée par 10

3

2

Il semblerait bien que pour multiplier le nombre par 10, il suffise de glisser ses chiffres d'un cran vers la gauche dans le tableau de numération.

Est-ce que ça marche pour d'autres nombres ?

Si on essaie à partir de 1,04 en faisant les mêmes étapes de raisonnement que pour 3,2 on obtient :

dizaines

unités

dixièmes

centièmes

Valeur de départ

1

4

Valeur multipliée par 10

1

4

Les chiffres ont encore glissé d'un cran vers la gauche…

… ce qui n'est finalement pas très surprenant :

une dizaine c'est 10 unités

une unité c'est 10 dixièmes

un dixième c'est 10 centièmes

Si on remplace 4 centièmes par 4 dixièmes on a multiplié par 10.

Si on remplace 3 dixièmes par 3 unités on a multiplié par 10.

 

Que le nombre soit entier ou décimal, pour le multiplier par 10 il suffit de déplacer ses chiffres d'un cran vers la gauche.

Pour écrire le résultat en dehors du tableau, il est parfois nécessaire d'écrire des zéros ou une virgule.

Le matériel de numération photographié est celui proposé à la vente sur ce site.

Comme on ne disposera pas de matériel en quantité suffisante pour que chaque élève manipule, on peut le remplacer par des plaques carrées, barres et petits carrés en papier ou carton léger. On ne dispose cependant ainsi que de trois ordres de grandeur facilement manipulables (unités-dixièmes-centièmes ou dizaines-unités-centièmes) contre quatre avec le matériel Montessori proposé photographié.

Télécharger le matériel de numération

Remarques sur l'utilisation peu conventionnelle du tableau de numération proposée ci dessus.

Nous nous permettons à l'occasion d'écrire un nombre à deux chiffres dans une même case, nous ne plaçons ni zéro ni virgule dans le tableau, voici pourquoi :

Ecrire 25 dans la colonnes des dixièmes ne pose aucun problème de compréhension, cela signifie 25 dixièmes. L'interdire est donc totalement arbitraire.

De même les zéros et la virgule n'apportent aucune information dans le tableau de numération. Pourquoi donc les écrire ?

Le résultat de ces règles arbitraires est que pour écrire le nombre voulu sans le tableau il suffit de le recopier tel qu'il est dans le tableau. Cette commodité apparente se paye très cher : l'élève qui utilise le tableau de numération de façon usuelle n'a besoin de se référer aux principes de base du système décimal ni au moment où il remplit le tableau ni à celui où il en extrait le nombre.

C'est précisément parce que le tableau ne comporte ni zéro ni virgule que l'élève va être contraint à réfléchir à leur rôle à chaque fois qu'il extrait un nombre du tableau de numération.

Vous trouverez ici une analyse équivalente sur l'usage du tableau de numération pour le premier apprentissage du système décimal en CP.

 

 

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