Primaths2 tirelire

Pourquoi a-t-on inventé les fractions ?

 

Compter des cuillères n'est pas très difficile :

cuiller
cuillers
cuillers1

Une cuillère

Deux cuillères

Trois cuillères

Ce n'est pas plus difficile pour des boîtes de cassettes.

boitesdecassettes

Quand il s'agit de gâteaux, ce n'est pas toujours aussi simple.

gateaux

Combien y a-t-il de gâteaux ici ?

gateaux2

Ou ici ?

Les fractions ont été inventées pour répondre à ce genre de question.

Une remarque sur le vocabulaire utilisé pour nommer les fractions.

Quand on regroupe des objets, il y a des mots peu précis :

groupe, paquet, ensemble, groupement…

et d’autres mots plus précis qui disent quelle est la taille des groupes :

dizaine, paire, centaine, douzaine…

 

Quand on partage des objets, il y a des mots peu précis :

morceau, part, partie, bout, portion…

et d’autres mots plus précis qui disent quelle est la taille des morceaux :

demi, quart, dixième, tiers, millième…

Quand on compte des morceaux, il faut faire attention.

Pierre et Louna se partagent des gâteaux tous identiques, mais cassés en morceaux. Pierre a 5 morceaux de gâteau, Louna a 3 morceaux.

Qui a le plus de gâteau ?

 

Si les morceaux sont différents, on ne peut pas savoir.

 

 

 

 

 

 

Si les morceaux sont tous identiques, c'est facile.

5 morceaux, c'est plus de gâteau que 3 morceaux de la même taille.

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fractions1
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Un message pour fabriquer une bande.

Idée empruntée à Cap Maths CM1, ouvrage auquel on peut se reporter pour des indications précises sur le déroulement d'une situation de recherche sur ce thème. Dans la situation de Cap maths, les élèves échangent des messages, un groupe devant faire réaliser par un autre groupe une bande donnée. Dans la situation proposée ici, les élèves doivent donner des consignes au maître.

Comme vous le voyez, j'ai mis au tableau plusieurs bandes rouges, toutes identiques.

Je vous ai fourni le même matériel en plus petit.

Vous allez devoir me donner des consignes pour fabriquer à l'aide de mes bandes rouges une bande exactement de la même longueur que la bande verte.

J'obéirai à vos consignes, mais si vous voulez que je fasse quelque chose et que vous ne le dites pas, je ne devinerai rien.

Les bandes rouges du tableau mesurent 40 cm, la bande verte 70 cm.

Les modèles réduits des élèves mesurent respectivement 12 et 21 cm.

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Les élèves, par groupes, écrivent leurs messages, puis on les étudie collectivement :

 

— Tu prends une bande rouge entière et puis un grand morceau d'une deuxième, et tu les mets bout à bout et ça fait la bande verte.

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— Désolé, j'avais bien prévenu que je ne devinerais pas, j'ai fait ce que vous avez dit et ça n'a pas donné la même longueur que la bande verte, voyons un autre message :

 

— Tu prends une bande rouge, et tu enlèves 3 cm à une deuxième bande rouge, et tu colles les deux ensemble.

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— Et non, ça ne marche pas non plus, peut-être que vous avez enlevé trois centimètres à votre bande rouge, mais la mienne est plus grande il faudrait enlever plus, mais combien exactement, on ne sait pas. Pour la suite, s'il faut écrire d'autres messages, vous n'utiliserez plus de mesure de longueur.

— Tu prends une bande rouge et trois petits morceaux d'une autre.

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— Tu partages deux bandes rouges en quatre morceaux chacune, et tu gardes sept des huit morceaux pour fabriquer ta grande bande.

— Voilà, je fais mon découpage…

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— Puis j'assemble les morceaux… ça ne marche toujours pas.

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Après un certain nombre d'essais infructueux, on parviendra à des messages corrects. En voici trois exemples.

— Tu fais des moitiés de bande rouge, puis tu fais des moitiés d'une moitié. Pour faire la grande bande, tu prends trois moitiés et une moitié de moitié.

— Tu plies une bande rouge par le milieu, puis tu la replies encore par le milieu, tu déplies et tu enlèves un des petits bouts en coupant sur le pli, et tu rajoutes une bande entière.

— Tu découpes chaque bande rouge en 4 morceaux égaux, et tu mets 7 petits morceaux bout à bout.

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— Pour que le message soit correct, il ne faut pas oublier de préciser comment faire les petits morceaux. Si on demande 4 morceaux, ça ne précise pas que les morceaux doivent être égaux.

Pour éviter d'avoir à écrire des messages compliqués, les mathématiciens ont inventé une sorte de code qu'ils appellent des fractions, je vais vous expliquer ce code, puis nous nous entraînerons à l'utiliser.

 

Quand on écrit :

item9

cela veut dire :

  • qu'on utilise des morceaux obtenus en coupant chaque bande rouge en 4 parties égales.
  • qu'il y a 7 morceaux.

 

Le nombre écrit en bas dit comment sont fabriqués les morceaux, celui du haut dit combien de morceaux sont utilisés.

 

Ceci étant dit…ça ne sera évidemment pas retenu immédiatement et définitivement par tous les élèves. Vous trouverez ici quelques exercices pour s'entraîner à utiliser les fractions.