tirelire

Les grands restes.

Le reste d'une division par 3 ne peut pas être plus grand que 2, celui d'une division par 4 ne peut pas être plus grand que 3…

La somme des quatre restes ne pourra donc pas dépasser 2 + 3 + 4 + 6 = 15

Si on reprend le codage proposé pour d'autre problèmes, le tableau peut ressembler à ceci :

solution2

Par ailleurs, à mesure que les enfants testent des nombres en posant les quatre divisions, on constate que certaines valeurs sont possibles pour la somme des restes.

Par exemple si on essaie avec 50, on obtient une somme égale à 5

solution3

Après un certain nombre d'essais de ce type, le tableau ressemblera probablement à ceci :

solution4

Il faudra du temps pour que des remarques ressemblant à ce qui suit émergent (et peut-être n'émergeront-elles jamais).

  • Quand on augmente le nombre à diviser de 1, les restes augmentent souvent de 1, mais il arrive aussi que certains restent diminuent parce qu'ils deviennent égaux à 0. Par exemple si on divise 48 par 7, le reste est 1, mais si on divise 49 par 7 le reste est 0.
  • Pour trouver un nombre qui a un grand reste dans une division par 7, on peut prendre un multiple de 7 et lui ajouter 6 (qui sera le reste) mais on peut aussi prendre un multiple de 7 et lui enlever 1
  • Si je trouve un nombre qui est à la fois dans la table de 3, de 4, de 5 et de 7, en lui enlevant 1 j'obtiendrai le plus grand reste possible dans chacune des divisions.
  • Il est possible de trouver un nombre qui est à la fois multiple de 3, de 4, de 5 et de 7. Il suffit de choisir le nombre 3 x 4 x 5 x 7 = 420

 

On peut alors poser les divisions suivantes pour vérifier.

solution5

Le problème qu'on se posait au départ est donc entièrement résolu, la plus grande valeur que peut prendre la somme des 4 restes est 15, ce qui peut être noté ainsi :

solution6

Si on est curieux, le problème peut avoir (comme toujours) des prolongements :

  • Toutes les valeurs inférieures à 15 peuvent-elles être atteintes ?
  • Y a-t-il d'autres nombres que 419 qui permettent d'obtenir 15 ? Si oui, lesquels ?

Seize dans un carré.

solution7
solution8

Les illustrations ci-dessus montrent la remarque clé : si on additionne les quatre sommes par ligne on trouve toujours 136. Il en est de même si on additionne les sommes par colonne.

Ceci est dû au fait qu'il s'agit à chaque fois d'une façon de calculer

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136.

 

La plus grande des sommes partielles ne peut pas être égale à 20. En effet dans ce cas les quatre sommes par lignes seraient plus petites que 20 ou égales à 20. or 20 + 20 + 20 + 20 = 80, en additionnant les 4 sommes par lignes on trouverait un résultat plus petit que 80 ou éventuellement égal à 80, ce qui est impossible puisqu'on sait que ce résultat est égal à 136.

 

Pour la même raison, la plus grande des sommes partielles ne peut valoir ni 21, ni 22… ni 33.

En revanche, on ne peut pas exclure que la plus grande des sommes partielles soit 34.

Si toutes les sommes par ligne et par colonne étaient égales à 34, en additionnant les résultats par ligne ou bien les résultats par colonne on obtiendrait bien 136… mais est-ce possible ?

 

A ce stade du travail, on peut résumer nos résultats ainsi (en supposant que certains élèves de la classe ont obtenu 37 et 39 :

solution9

Il est alors normal de recommencer une phase de recherche d'exemples en essayant cette fois d'obtenir 34.

Si on a bien compris que chacune des lignes et chacune des colonnes doit avoir pour somme 34, on place les nombres pour obtenir ces sommes mais ce n'est pas évident pour autant.

Avec un peu de persévérence, on finit par obtenir une disposition telle que celle-ci, qui permet de clore le problème : on a obtenu 34 et on sait qu'on ne peut pas obtenir moins que 34.

solution10

Cette solution est donnée à l'usage du maître qui ne se résout pas à poser un problème dont il ne connait pas la solution complète. Cependant, si le maître souhaite aller jusqu'à la preuve avec ses élèves, il aura avantage à se limiter aux nombres de 1 à 9 sur une grille de trois lignes et trois colonnes.

En revanche, la version avec les nombres de 1 à 16 est plus intéressante dans un travail de type "fichier fond de classe" car le problème résistera plus longtemps aux essais des élèves de la classe.

Les morceaux différents

Pour résoudre complètement ce problème, la principale difficulté consiste à abandonner la recherche empirique de "bons" découpages pour ce demander quelles formes on peut utiliser.

Pour placer beaucoup de morceaux, il faut que chacun des morceaux comporte le moins possible de carreaux.

On procéde alors à un inventaire des formes disponibles, classées selon leur nombre de carreaux.

solution11

Quand on a réussi à se convaincre qu'il n'existe pas d'autres formes avec moins de 5 carreaux que celles figurant ci-dessus (ce qui n'est pas si simple pour les formes à 4 carreaux) on constate que si on utilise toutes ces formes, elles occuperont au total 29 carreaux.

Il restera alors 20 carreaux disponibles pour tracer des formes comportant au moins 5 carreaux chacune. On ne pourra donc pas placer plus de 4 nouvelles formes.

Il est maintenant certain qu'il est impossible d'obtenir 14 morceaux, ou plus de 14 morceaux.

En revanche le raisonnement ci-dessus ne dit rien sur un découpage à 13 morceaux : il ne l'exclut pas, mais il ne prouve pas que c'est possible. Il faut donc se remettre au dessin pour essayer d'obtenir 13 morceaux.

solution12

Voici une des nombreuses façons d'y parvenir :

solution13

Quand ce problème est posé à des élèves, ils trouvent facilement 13 morceaux…voire plus, en plaçant sans s'en rendre compte des morceaux identiques, ce qui n'est pas toujours si facile à détecter. Voici par exemple une grille comportant 13 morceaux…dont deux sont identiques.

Des différences pas trop petites

Le nombre 7 doit être placé dans la liste.

Si 7 est placé à côté de 1, la différence est 6.

Si 7 est placé à côté d'un autre nombre, la différence est plus petite que 6.

Parmi nos différence, il y en aura au moins une qui vaudra 6 ou moins de 6.

La plus petite différence ne peut donc pas être égale à 7, ni à 8…

 

En utilisant le codage habituel, voici ce qu'on sait :

solution14

La liste suivante montre qu'il est possible que la plus petite différence soit égale à 6, le problème est alors résolu.

solution15