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Tous les problèmes présentés dans cette page peuvent donner lieu à des séances de recherche en classe dont l'organisation est proche de celle décrite pour "Pas trois points alignés" et pour "étiquettes".

Problème 3, la longue liste.

 

—Vous allez devoir inventer une liste de nombres. Plus votre liste de nombres sera longue, et mieux ce sera. Une liste de 10 nombres, ce sera mieux qu'une liste de 9 nombres…

—Super facile…

—Oui, mais je n'ai pas fini, vous ne pouvez pas mettre n'importe quels nombres, il y a trois conditions à respecter :

  1. Les nombres sont entiers, pas de 2,5 ni de 4,58.
  2. On ne peut pas utiliser deux fois le même nombre.
  3. Si on prend deux nombres qui se suivent dans la liste et qu'on les multiplie entre eux, le résultat de la multiplication doit être entre 20 et 40 (20 et 40 sont acceptés aussi).

 

Quelques exemples :

10 ; 4 ; 7 ; 5 est une liste de 4 nombres qui respecte les règles.

10 ; 3 ; 7 ; 6 ; 4 est une liste qui ne respecte pas les règles parce que 6 x 7 = 42

12 ; 3 ; 11 ; 2 ; 12 est une liste qui ne respecte pas les règles parce qu'elle utilise deux fois le nombre 12.

 

Allez, y, cherchez sur votre brouillon, s'il y a des choses que vous n'avez pas bien comprises, vous me demanderez quand je passerai près de vous.

Problème 4, pas de carré.

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—Le problème d'aujourd'hui ressemble un peu au problème "pas trois points alignés" parce que vous allez à nouveau placer des points sur les intersections de cette grille.

Mais la règle a changé.

Aujourd'hui, on peut placer trois points alignés, ça n'a pas d'importance. Ce qui est interdit, c'est de placer les croix sur les quatre sommets d'un carré.

grille

—Je commence par vous montrer un exemple complètement raté.

Sur cette grille, les quatre points rouges forment un carré, les quatre points verts forment un carré, et les points bleus aussi.

—Non, pas les bleus…

—Si tu n'es pas convaincu que ça forme un carré, tu pourras essayer sur ta feuille, tu verras qu'il y a bien quatre côtés égaux et quatre angles droits. Il est plus difficile à voir que les autres, mais c'est un carré…

Mon essai est tellement raté qu'il y a encore d'autres carrés, en utilisant des sommets de différentes couleurs, vous les voyez ?

Qui vient me dessiner tous les carrés qu'on peut faire avec les points de cette grille ?

 

 

 

—Il y a ces deux là en plus des trois de couleur que tu as expliqués au début.

—Très bien, peut-être que certains n'avaient pas vu le carré noir, les carrés penchés sont plus difficiles à voir, mais il ne faut pas former de carré du tout.

A vous de chercher, il faut mettre le plus possible de points sur la grille, sans former de carré.

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Problème 5, une pyramide de nombres.

—Aujourd'hui, je vais vous distribuer des pyramides comme celle-ci, et vous allez écrire des nombres sur la pyramide : un nombre sur chaque brique. Comme d'habitude, il y aura des règles et un but à atteindre.

Il y a trois règles :

  1. Les nombres utilisés sont des nombre entiers, plus grand que zéro, on n'a pas le droit d'utiliser 0.
  2. On n'a pas le droit d'utiliser deux fois le même nombre.
  3. quand une brique est posée sur deux autres briques, elle doit contenir la somme des nombres écrits sur les deux briques qui la supportent.

 

Voici un exemple, regardez bien si j'ai respecté les règles…

—Euh, oui, ça va…

 

 

 

—Pour l'instant tout a l'air d'aller bien, mais regardez : si je continue, dans la case au dessus de 105 et de 35, je suis obligé d'écrire 140 parce que 105 + 35 = 140, et maintenant, ça ne va plus puisque je n'ai pas le droit d'écrire deux fois le même nombre… alors qu'est-ce que je peux faire ?

—Remplacer un des deux 140 par autre chose, 120 ou 130 par exemple…

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—Je ne peux pas, 25 + 115 = 140 et 105 + 35 = 140, je ne peux pas décider que 105 + 35 ça fait 120…

— et bien alors tu change un nombre en desous, par exemple le 115.

—Pourquoi pas, mais 100 + 15, ça fait 115, on n'y peut rien, alors je suis obligé de changer les nombres qui sont tout en bas… ça vous arrivera aussi. Si on n'a pas de chance et qu'on trouve deux nombres identiques, on est obligé de recommencer à partir du bas, c'est pour ça que je vais vous donner une feuille avec plusieurs pyramides, pour faire des essais.

Il vous manque une chose pour vous lancer, le but à atteindre :

Il faut fabriquer une pyramide qui respecte les trois règles et avec le nombre tout en haut le plus petit possible. Si vous avez 100 tout en haut c'est bien, mais 63 en haut c'est mieux et 46 c'est encore mieux…

C'est compris ? Alors je vous distribue les pyramides et c'est parti.

Télécharger les pyramides

Problème 6, le plus grand périmètre.

grillebis

—Aujourd'hui, nous allons à nouveau utiliser une grille rectangulaire, mais cette fois-ci, nous n'allons pas placer de points sur les intersections, ni découper des étiquettes, nous allons tracer une figure fermée sur notre grille, en suivant les lignes de la grille.

Je vous en montre deux exemples :

grillebis2 grillebis3

—Et voici trois exemples de choses que l'on n'a pas le droit de faire :

  • le dessin rouge parce qu'il y a un croisement : on veut des figures simples avec une seule zone à l'intérieur.
  • Le dessin bleu parce que la ligne n'est pas fermée.
  • Le dessin vert parce que la ligne verte n'est pas toujours tracée sur les les lignes de la grille
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Le but est de trouver une figure qui a le périmètre le plus grand possible.

Pour qu'on ne passe pas trop de temps à faire des mesures, nous n'allons pas mesurer le périmètre en centimètres, ni en millimètres.

L'unité de longueur sera le côté d'un petit carreau de la grille.

Sur ce dessin le périmètre du carré bleu est 4.

Le périmètre de la figure orange est 8 : pour faire le tour de la figure orange, je passe sur 8 côtés de carreaux.

Pour voir si nous sommes tous d'accord, écrivez sur votre brouillon le périmètre de la figure rouge et celui de la figure verte que j'ai affichées comme exemple…

J'écris les périmètres sur les affiches, et je vous distribue des grilles pour tracer vos figures.

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grillebis2a grillebis3a

On peut s'attendre à ce que certains élèves tracent rapidement le rectangle entourant la grille entière en affirmant qu'il a le plus grand périmètre (ce qui revient à penser que pour obtenir un grand périmètre, il suffit de choisir une grande aire).

Il est probable que cette affirmation sera balayée dans les minutes qui suivent par des propositions d'autres élèves ayant un périmètre plus grand. Si ce n'était pas le cas, le maître relancera la recherche en proposant lui-même une figure de périmètre supérieur à 20…par exemple celle-ci :

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Problème 7, les voisins multiples.

—Nous allons écrire des listes de nombres, comme dans le problème "la longue liste", mais tout le reste a changé.

Voici les règles du nouveau problème :

  • On écrit des listes de neuf nombres entiers.
  • Il est interdit d'utiliser deux fois le même nombre.
  • On ne peut pas utiliser 0, ni 1. Le plus petit nombre autorisé est 2.
  • Pour écrire deux nombres à côté l'un de l'autre dans la liste, il faut que le plus grand des deux soit multiple du plus petit :

on peut mettre 20 à côté de 5 parce que 20 = 4 x 5

on peut mettre 60 à côté de 10 parce que 60 = 6 x 10

on peut mettre 15 à côté de 45 parce que 45 = 3 x 15

on ne peut pas mettre 40 à côté de 50 car 50 n'est pas dans la table de 40.

 

Le but est de ne pas utiliser de grands nombres. Si votre plus grand nombre est 200 ce n'est pas mal, mais si le plus grand nombre est 50 c'est beaucoup mieux et si c'est 30 c'est encore mieux.

Avant que vous commenciez à chercher, je vous montre deux listes et vous vérifiez si elles respectent les règles de ce problème :

50 200 10 2 12 24 48 240 60

40 160 16 8 80 90 30 300 50

…en regardant bien, il me semble que j'ai respecté la règle presque partout…

50 200 10 2 12 24 48 240 60

40 160 16 8 80 90 30 300 50

Sauf ici, 90 n'est pas multiple de 80 et 80 n'est pas multiple de 90, alors je ne peux pas les mettre côte à côte.

Et maintenant, c'est à vous…

Problème 8, le polygone sans angles droits.

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—Un fois de plus, vous allez travailler sur une grille, je ne pense pas que ça va vous surprendre beaucoup, vous commencez à être habitués.

Cette fois, vous dessinerez sur votre grille un polygone qui devra respecter les règles suivantes :

  • Les sommets du polygone sont placés sur les intersection de la grille.
  • Le polygone n'a pas d'angles droits.

 

 

Le but à atteindre, c'est que le polygone ait le plus de côtés possibles… si vous faites un triangle, il faut bien dire que ce n'est pas terrible, un quadrilatère c'est un peu mieux, si votre polygone a 7 côtés c'est encore mieux, et ainsi de suite.

Vous allez pouvoir commencer tout de suite, je vous demande seulement de vérifier avant si ce polygone respecte bien les règles :

Ce sera certainement l'occasion de préciser que la figure rouge est bien un polygone.

Un polygone peut avoir des "creux"…on pourra même préciser éventuellement aux amateurs de mots savants que dans ce cas on parle d'un polygone concave.

Cependant, l'essentiel n'est pas le vocabulaire mais que les enfants s'autorisent à tracer des polygones très "tordus".

Il nous semble préférable de ne pas accepter les polygones croisés si les enfants en proposent : on ne retient que ceux qui délimitent sans ambiguïté une zone extérieure et une seule zone intérieure.

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Peut-être que certains n'avaient pas vu l'angle droit que j'ai repassé en bleu. Quand ils sont inclinés, ils ne sont pas très faciles à voir, mais ce sont quand même des angles droits, il va falloir y faire très attentions… je vous distribue les feuilles et la recherche commence tout de suite.

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