tirelire

Tous les problèmes présentés dans cette page peuvent donner lieu à des séances de recherche en classe dont l'organisation est proche de celle décrite pour "Pas trois points alignés" et pour "étiquettes".

Problème 9, les intersections.

intersections1

—Sur le tableau, j'ai dessiné trois figures : un cercle et deux quadrilatères. Ensuite, j'ai compté…

Qui pense savoir ce que j'ai compté ? Loïc ?

—Tu as mis des numéros aux endroits où les traits se croisent.

—C'est ça, j'ai compté les intersections, une intersection c'est l'endroit où deux lignes se coupent, et j'en ai trouvé 8.

intersections2

—Je viens de dessiner une nouvelle figure, avec toujours deux quadrilatères et un cercle. Yoko, tu peux venir au tableau compter les intersections ?

intersections3

—Il y en a 12.

—Très bien, sur ma première figure il y avait 8 intersections, sur celle-ci il y en a 12. Votre travail va maintenant être d'inventer des figures. Toutes les figures doivent être faites avec deux quadrilatères et un cercle.

Le but est d'obtenir le plus possible d'intersections.

Problème 10, les grands restes.

restes1

—Pour le problème d'aujourd'hui, il va falloir poser des divisions.

J'ai écrit quatre divisions au tableau. Pauline, Ludovic, Ahmed et Isabelle vont venir les effectuer.

restes2

—Vérifions si les divisions sont justes avant que je vous explique ce qu'on va en faire. Qu'en pensez-vous ?

—Pauline, elle s'est trompée, et puis Ahmed aussi.

—Oui, plus exactement ils ne se sont pas vraiment trompés, mais ils n'ont pas tout-à fait terminé leur travail. Dans la méthode de Pauline, il faut faire l'addition : 153 c'est 50 fois trois et une fois trois, c'est 50 + 1 = 51 fois trois.

Et dans la méthode d'Ahmed, même si on écrit le "u" pour unités, il vaut mieux écrire le zéro pour dire qu'il n'y a pas d'unités, sinon on risque de lire 3 au lieu de 30 si on ne fait pas attention.

restes3

—Ce que j'ai rajouté en rouge, c'est ce que vous devrez faire tout à l'heure : j'ai additionné les restes des 4 divisions. La somme des quatre restes est 10.

Pensez vous que la somme serait la même si on faisait le même travail en partant d'un autre nombre, par exemple de 211 à la place de 153 ?

—Euh…

—Je sais pas

—On a qu'à essayer.

—Je pense que c'est une bonne idée, essayons pour voir.

 

Un peut plus tard, on voit ceci au tableau :

restes4

La somme des quatre restes a changé, quand on divisait le nombre 153 on trouvait 10, et en partant du nombre 211, on obtient 6 comme somme des quatre restes… avez vous une petite idée de ce que je vais vous demander maintenant ?

—Trouver un total le plus petit possible…

—Ah, pourquoi pas, ça serait intéressant aussi, mais j'avais l'intention de vous demander exactement le contraire, essayer d'obtenir une somme des quatre restes la plus grande possible. Pour celà, vous choisissez un nouveau nombre à la place de 153 et de 211, vous posez les divisions puis vous additionnez les restes, et ensuite vous recommencez avec un autre nombre.

—moi je sais c'est facile, c'est avec 999, et ça fait 29.

—Et bien dit-donc Patrick si ce que tu dis est vrai, tu es le champion de vitesse mathématique, tu nous expliques un peu ?

— j'ai vu qu'avec 153, 1 + 5 + 3 = 8, et à la fin on trouve 10 et avec 211, 2 + 1 + 1 = 4 et à la fin on trouve 6, alors je me suis dit que c'était pas la peine de faire les divisions, il suffit d'additionner les chiffres et de rajouter encore 2.

—Si je t'ai bien compris Patrick; avec 350 la somme des restes sera 3 + 5 + 0 + 2 = 10

—Oui, c'est ça.

—Et bien, il suffit que tu poses les divisions de 350 par 3, par 4, par 5 et par 7 pour vérifier.

Si ta règle continue à marcher on essaiera de comprendre pourquoi elle marche.

—Est-ce qu'on peut prendre la calculatrice ?

—Si vous voulez, mais vos calculatrices ne donnent pas les restes des division…

Pour l'instant, le meilleur résultat est obtenu à partir de 153, la somme des restes est 10, je propose que quand quelq'un trouve une somme plus grande il vienne écrire au tableau son nombre et sa somme des restes.

C'est parti, à vous de chercher…

Problème 11, seize dans un carré.

grille16nombres1

—Pour le problème d'aujourd'hui, nous allons utiliser des grilles comme celle-ci.

Regardez bien, je vais commencer la recherche que vous devrez continuer tout à l'heure.

grille16nombres2

—J'écris dans la grille les nombres de 1 à 16, un nombre dans chaque case. Pour l'instant, je les place un peu au hasard puisqu'on ne sait pas encore ce qu'on va en faire, mais quand vous chercherez, vous devrez bien réfléchir à la façon de placer les nombres.

grille16nombres3

—Ensuite, je fais quelques calculs. Je vais juste écrire les résultats sans vous dire quelles opérations j'ai faites… vous retrouvez ce que j'ai fait ?

— Oui oui, tu as tout additionné…

—Pas vraiment tout, j'ai additionné les 4 nombres de chaque ligne, par exemple 9 + 4 + 12 + 3, ça fait 28, et j'ai fait la même chose pour chaque colonne.

grille16nombres4

—J'ai presque fini, il me reste une dernière chose à faire… je regarde quel est le plus grand des huit totaux que je viens de calculer et je l'entoure, les autres ne m'intéresse plus, je ne me sers pour ce problème que du plus grand total.

Votre travail est de trouver comment placer les nombres pour que ce plus grand total ne soit pas trop grand. Ici j'ai obtenu 50, si quelqu'un réussit à obtenir 49 ce sera mieux, 48 c'est encore mieux, 40 c'est encore bien mieux, et si quelqu'un arrive à 10, ça sera magnifique… mais ça me parait vraiment difficile.

—Personne pourra jamais faire 10…

—Ah bon ? explique nous ça Léa.

—Et bien, il faudra bien mettre le 16 quelque part, et 16 plus quelque chose, ça peut pas faire 10

—C'est vrai, on peut pas faire 15 non plus

—Ni 16

—Ni 17

—Je vois que vous avez déjà commencé à réfléchir, alors allez-y, cherchez, nous ferons le point dans 10 minutes sur ce que vous avez trouvé.

Problème 12, les morceaux différents

gille7x7

—Pour le problème d'aujourd'hui, je vais vous donnez des grilles carrées comme celle-ci, elles ont 7 lignes et 7 colonnes, donc 49 carreaux.

gille7x72

—Vous devrez découper cette grille en morceaux, en suivant les lignes, par exemple comme ça.

Evidemment, on ne découpe pas vraiment avec des ciseaux, on se contente de dessiner.

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—Sur mon exemple, j'ai fait 10 morceaux, mais le but est d'obtenir le plus de morceaux possibles…

…s'il n'y avait pas d'autre règle, ce serait très facile et pas très intéressant, il suffirait de découper en 49 petits morceaux d'un carreau, il y a donc une autre règle :

les morceaux doivent être tous différents.

gille7x74

—Sur l'exemple, je n'ai pas respecté cette règle : les morceaux 4 et 10 sont identiques mais aussi les morceaux 3 et 5.

Imaginez que vous découpez le morceau 3. En le retournant, vous pouvez le placer exactement sur le 5.

Dans ce problème, si on peut faire ça on considère que les morceaux sont identiques, on n'a donc pas respecté la règle du jeu.

gille7x75

—Voici un autre exemple : les quatre morceaux dessinés ici sont identiques.

Je résume donc :

  • on découpe en suivant les lignes,
  • les morceaux doivent être tous différents,
  • on cherche à obtenir le plus possible de morceaux.

à vous de chercher, c'est parti…

Télécharger les grilles

Problème 13, des différences pas trop petites.

differences

—Je vous présente maintenant un exemple de ce que vous devrez faire pour le problème d'aujourd'hui.

Il faudra écrire les nombres de 1 à 12, dans l'ordre que vous voulez. Ici je les ai écrits un peu au hasard. Il faut quand même vérifier que je les ai tous écrits, sans en oublier et sans écrire deux fois le même.

C'est bon, je n'ai pas fait d'erreur ?

differences2

—Ensuite, j'écris à droite les différences entre deux nombres qui se suivent dans ma liste :

10 moins 5 égal 5

10 moins 1 égal 9, et ainsi de suite.

differences3

—Enfin, j'entoure dans la liste des différences le plus petit résultat que j'ai trouvé, il n'y a que lui qui m'intéresse.

Le but est que le résultat entouré ne soit pas trop petit, si c'est 1 ce n'est pas terrible, si c'est 2 c'est un peu mieux, trois encore mieux et ainsi de suite.

Je résume :

  • On écrit les nombres de 1 à 12 dans un ordre qu'on choisit.
  • On calcule toutes les différences entre les nombres voisins dans la liste.
  • On entoure la plus petite différence.
  • Plus le nombre entouré est grand, mieux c'est.

Problème 14, 2000.

item7

—J'ai écrit au tableau trois additions en ligne, je ne sais pas si vous le remarquez, mais les nombres que j'ai additionnés ont quelque chose de spécial…

—???

—Pour écrire les nombres de chaque addition, j'ai utilisé tous les chiffres, de 0 à 9, une seule fois chacun. Votre travail va être d'inventer d'autres additions respectant cette règle.

Le but est que le résultat de l'addition soit le plus proche possible de 2000.

Sur mes exemples, c'est l'addition rouge qui est donc la meilleure, mais on peut certainement faire beaucoup mieux.

Si quelqu'un réussit à obtenir exactement 2000, ce sera parfait et on pourra arrêter là, on ne peut pas faire plus près de 2000 que 2000, mais si vous obtenez 1999 ou 2001, ou même 1998 ou 2002, ce sera déjà vraiment très bien… à vous de jouer.