tirelire

Le problème d'aujourd'hui ressemble un peu au problème "pas trois points alignés" que nous avons cherché il y a quelque temps.

Nous ne placerons pas des points sur une grille, nous découperons des étiquettes.

Je vous donnerai des rectangles comme celui-ci :

grille

Les rectangles ont tous 24 carreaux de long et 18 carreaux de large.

Dans ces rectangles, nous allons découper des étiquettes de 7 carreaux de long et 5 carreaux de large, par exemple comme ceci :

grille2

Sur mon rectangle, j'ai placé trois étiquettes. Votre travail est de placer le plus possible d'étiquettes dans la grille. Si vous en placez 8 c'est bien, 9 c'est encore mieux, 10 encore mieux que 9, et ainsi de suite.

J'ai dit qu'on allait découper les étiquettes, ce n'est pas tout-à-fait vrai. On dessine les étiquettes comme si on voulait les découper mais on ne les découpe pas vraiment, sinon on ne saura plus comment on les a placées.

Je vous distribue des feuilles avec plusieurs rectangles dessus pour pouvoir faire plusieurs essais, et vous pouvez commencer à chercher.

 

La recherche de ce problème peut s'organiser à peu près comme celle du problème "pas trois points alignés".

  • Dans un premier temps on cherche individuellement, mais à l'intérieur de petits groupes de 3 ou 4 élèves. Le travail est collectif dans le sens où les enfants sont encouragés à s'entraider, à s'inspirer des idées des autres… mais il est individuel dans le sens où on ne cherche pas systématiquement un accord du groupe. Si deux élèves du même groupe ont deux idées radicalement différentes, il faut que chacun puisse mettre en œuvre son idée.

 

  • On procède ensuite à une mise en commun dans les petits groupes : chaque groupe sélectionne la production qui comporte le plus d'étiquettes, ou une des productions qui comportent le plus d'étiquettes si le même résultat a été atteint plusieurs fois de façons différentes. Les élèves sont invités à vérifier que la production sélectionnée utilise bien des étiquettes de 7 carreaux sur 5, qu'il n'y a pas par étourderie quelques étiquettes plus petites.

 

  • Chaque groupe affiche sa meilleure production et on met en conclut collectivement.

 

Les interventions de l'enseignant pendant la phase de recherche.

Il ne guide pas les élèves. Il n'intervient que si certains élèves sont dans une impasse, il nous semble par exemple nécessaire d'intervenir dans les cas suivants :

  • Un élève, après avoir placé toutes les étiquettes en position horizontale et/ou toutes les étiquettes en position verticale ne songe pas qu'il est possible de panacher les deux positions. Le maître lui fait alors remarquer qu'il n'est pas obligatoire d'orienter toutes les étiquettes de la même façon : sur le premier exemple l'étiquette verte est à l'horizontale et les deux autres à la verticale.
  • Un élève passe beaucoup de temps à tracer puis hachurer soigneusement à la règle ses étiquettes. Le maître insiste sur le fait que le but du travail est de trouver une disposition, pas de faire un beau dessin.
  • Un élève s'oblige à laisser des espaces entre les étiquettes pour faciliter un découpage ultérieur soigné. Le maître lui indique que ce n'est pas nécessaire : on ne fera pas vraiment le découpage et si on veut mettre beaucoup d'étiquettes, il vaut sans doute mieux qu'elles soient serrées les unes contre les autres, comme des sardines à l'huile dans leur boîte.
  • Un élève utilise de étiquettes n'ayant pas les bonnes dimensions, le maître le lui fait remarquer.

 

La phase de mise en commun :

Il est difficile de détailler le déroulement de la mise en commun puisqu'elle dépend évidemment des productions des élèves, mais il serait dommage que les points suivants ne soient pas abordés :

  • Quand on s'impose de mettre toutes les étiquettes dans le même sens, on ne réussit pas à en mettre beaucoup (8 ou 9 selon l'orientation choisie), ce n'est pas pour ça que c'était une mauvaise idée, il fallait essayer pour savoir. Si les dimensions du grand rectangle étaient 20 sur 14 par exemple, cette idée conduirait au meilleur découpage.
grille3
  • Si la meilleure production compte 10 étiquettes mais qu'aucun élève de la classe n'a réussi à placer plus de 10 étiquettes, ça ne veut pas forcément dire que c'est impossible… peut-être qu'il suffit de chercher un peu plus ou un peu mieux.

Il en est de même si la meilleure production comporte 11 étiquettes.

 

  • Le grand rectangle contient 18 x 24 = 432 carreaux.

Chaque étiquette contient 5 x 7 = 35 carreaux.

Pour faire 10 étiquettes, il faut 10 x 35 = 350 carreaux, pour faire 11 étiquettes il en faut 385, pour 12 étiquettes 420 et pour 13 étiquettes 455.

On est absolument sûr que personne, pas même un grand savant, ne réussira à placer 13 étiquettes, parce qu'il n'y a pas assez de carreaux.

 

  • La conclusion en fin de séance ressemble donc à ceci : il est possible de placer 11 étiquettes (ou 10 si la classe n'est parvenue qu'à 10) et il est impossible de placer 13 étiquettes. Pour 12 étiquettes (et peut-être pour 11) on ne sait pas si c'est possible.

 

  • Il est probable que certains élèves attacheront une valeur excessive aux calculs et penseront que puisqu'il y a assez de carreaux pour faire 12 étiquettes, il est forcément possible de placer les 12 étiquettes. On peut alors leur proposer l'expérience suivante :

—J'ai dessiné derrière mon tableau un rectangle qui contient 100 carreaux, je le laisse caché pour l'instant et je vous demande combien d'étiquettes de 5 carreaux sur 7 on pourra tracer sur ce nouveau rectangle…

Après avoir constaté que 2 x 35 = 70 et que 3 x 35 =105 (ou après avoir posé la division de 100 par 35), beaucoup déclareront qu'on peut placer 2 étiquettes sur ce rectangle.

Le maître dévoilera alors son rectangle avec toute la solennité nécessaire :

grille4

Sur cette grille il y a assez de carreaux pour faire 2 étiquettes, pourtant on ne peut pas en faire du tout, le nombre de carreau ne suffit pas pour savoir combien d'étiquettes on peut placer.

En guise de conclusion :

Certains élèves seront mal à l'aise devant la conclusion de ce problème et insisteront pour que le maître leur dise si oui ou non il est possible de placer 12 étiquettes…celui-ci peut fort bien répondre qu'il ne sait pas (surtout s'il ne sait réellement pas). On là une excellente occasion de montrer aux élèves qu'un problème de mathématique ne se ramène pas toujours à effectuer quelques opérations.

Si toutefois le maître lui-même est mal à l'aise avec cette situation de problème résolu seulement en partie, il peut proposer la même situation sur une grille 17 x 24 au lieu de 18 x 24. Il est plus facile alors de clore le problème.

 

vers d'autres problèmes

Un article publié dans la revue Grand N numéro 80 pour aller plus loin.
Rectangles 18 x 24 à photocopier

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