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Que peuvent apporter des problèmes d’optimisation en cycle 3 ?

 

 

1. Dans ces problèmes, les élèves peuvent tous produire quelque chose. Certes tout le monde ne trouve pas la meilleure solution, mais fournir une proposition correcte moins bonne que celle d’un camarade, ce n’est pas « avoir faux ».

On peut espérer que cette réussite locale aide certains à adopter une attitude plus active en maths.

Pour que cela fonctionne il faut que la consigne soit comprise de tous mais il faut également qu’elle soit brève afin que les élèves soient mis rapidement en situation de travail.

Pour concilier ces deux exigences, nous proposons souvent des consignes avec une part un d’implicite. L’implicite doit être levé rapidement, dès les premières minutes de recherche (par exemple : que signifie exactement en mathématiques le terme « alignés »).

Les premières minutes de recherche font en réalité toujours partie de la présentation du problème. L’enseignant observe ses élèves pour savoir si ils ont bien compris le problème posé. Ses interventions individuelles ou collectives n’ont pour but que d’assurer cette compréhension par tous des contraintes et du but.

 

 

2. Pour ceux des problèmes qui utilisent une notion mathématique du programme, celle-ci est réinvestie de façon intense. Il s’agit à la fois d’une occasion de rappeler ce que signifie l’expression « points alignés » et d’un entraînement intensif à repérer des points alignés visuellement, et à contrôler l’alignement à l’aide d’outil. La même quantité d’entrainement sans l’enjeu fourni par le problème d’optimisation serait à cour sûr assez rébarbatif.

Dans d’autres problèmes on s’entraine de façon analogue à repérer des multiples, des angles droits, des carrés…

 

 

3. La démarche de recherche d’exemples pour commencer est souvent fructueuse, sa portée ne se limite pas aux problèmes d’optimisation.

Considérons le problème suivant, typique de ce que proposait le texte d’application des programmes de 2002 consacré aux « problèmes pour chercher ».

 

J’ai 25 animaux, des poules et des lapins. Il y a en tout 68 pattes. Combien y a-t-il d’animaux de chaque sorte ? 

 

Au prix de l’abandon temporaire d’une contrainte (ou du moins de sa transformation de contrainte en but à atteindre), le problème peut être formulé ainsi :

 

Choisir 25 animaux, parmi des poules et des lapins.

Le but est d’obtenir un nombre de pattes le plus proche possible de 68.

 

Le problème devient alors un problème d’optimisation avec les bénéfices supposés en terme de dévolution (point 1).

On peut espèrer que des élèves familiers des problèmes d’optimisation, sans reformuler explicitement le problème comme ci-dessus, exploitent implicitement cette proximité avec un problème d’optimisation pour se lancer dans l’action.

La démarche par essais, si elle est raisonnée étant elle-même proche de celle qui conduit à la mise en équation, il me semble qu’il peut y avoir là un gain appréciable.

 

 

Les points suivants concernent ce qu’on peut attendre d’une phase de preuve à la suite de la phase de recherche d’exemples proposée pour tous les problèmes et décrite en détail pour "pas trois points alignés".

 

Voici la question-type qu’on se pose dans cette phase de preuve :

Nous avons réussi à placer 10 points sans placer trois points alignés, mais sommes-nous certains que personne, même un mathématicien professionnel et ayant beaucoup de temps pour chercher ne pourra faire mieux ? Comment le savons-nous ?

Nous ne vous incitons pas à mettre en place cette phase malgré son intérêt mathématique parce que les expérimentations en classe on montré qu’elle était difficile à conduire, y compris pour des maîtres expérimentés. Si cependant vous vous sentez assez armé pour le faire, voici les raisons qui nous avaient poussé à essayer :

 

4. Dans ces problèmes, on « fréquente » des preuves sans pour autant être confronté aux exigences formelles de la démonstration. On peut espérer que lors des premiers travaux sur la démonstration au collège l’élève aura des réminiscences l’aidant à comprendre le sens du travail effectué, à ne pas être uniquement attentif aux exigences formelles, souvent excessives et prématurées.

Personne ne songerait à demander à un élève de cycle 2 d’inventer (voire d’écrire) un conte respectant tous les canons du genre sans lui avoir jamais lu aucun conte auparavant. C’est pourtant à peu près ce qu’on demande aux élèves de collège concernant la démonstration.

 

5. On peut espérer des effets sur l’attitude générale en mathématique (attitude du chercheur) et au delà des mathématiques, par exemple de résistance aux arguments d’autorité. Ou encore de méfiance par rapport aux inductions abusives (ce n’est pas parce que personne n’a réussi pour l’instant à placer 12 croix que c’est impossible).

 

6. Dans ces problèmes, on travaille explicitement sur le vrai et le faux, ce qui est la nature même des mathématiques.

Dans la pratique scolaire, le mot « faux » s’oppose plus souvent à « juste » , à « bien » ou à « réussi » qu’à « vrai ».