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Aider à résoudre un problème

Un problème numérique est posé dans une classe de cycle 3, certains élèves sont désemparés.

Que peut faire le maître pour les aider ?

Vous ne trouverez ici aucune méthode miracle assurant que tous les élèves d’une classe réussissent à résoudre un problème numérique.

Notre but est plus modeste : élargir le répertoire d’interventions à la disposition du professeur. Nous partons du principe simple suivant : si le professeur dispose d’une assez grande variété d’interventions pour aider un élève, les chances qu’il agisse efficacement sont plus grandes que si ses interventions sont stéréotypées.

 

Nous ne traitons pas dans cette page deux types d’intervention pourtant fort utiles :

 

a) Celles qui visent à faire comprendre le problème : de quoi parle-t-on ? que cherche-t-on ?

Ce travail est évidemment fondamental, on supposera ici qu'il a été fait et que la difficulté persiste malgré une bonne compréhension de la situation décrite par l'énoncé du problème et de la question posée.

 

b) Celles qui induisent une procédure particulière.

On pèse ensemble un paquet de riz et 3 boîtes de raviolis identiques : la balance indique 2785 g. Le paquet de riz pèse 520 g.

Combien pèse une boîte de raviolis ?

Le maître peut suggérer, le calcul du poids des 3 boîtes de ravioli. Cela permettra à certains élèves de terminer le travail, au prix d'une modification de la nature de la tâche : ces élèves n'auront pas résolu le même problème que les autres.

On peut juger nécessaire de permettre à un élève de réussir une tâche modeste, ne correspondant pas à l'objectif qu'on s'était fixé au départ, plutôt que de le laisser ne rien faire. Mais on ne s'y résoudra qu'en dernier recours.

 

1. Des interventions portant sur le problème lui-même.

 

Certains considéreront peut-être qu'il s'agit toujours là de faire comprendre la situation et la question, mais il nous semble que les trois propositions qui suivent vont plus loin et peuvent permettre à certains élèves de dépasser le stade de la compréhension "passive" et de s'engager dans un processus de résolution.

 

Changer les nombres.

La difficulté d'un problème est liée à de nombreux éléments : structure mathématique sous-jacente, familiarité ou non du contexte… mais aussi valeurs des nombres utilisés.

Face à un problème qui résiste, on peut donc proposer aux élèves de commencer par résoudre un problème plus facile en changeant les valeurs numériques.

Vous avez du mal à démarrer sur le problème précédent, que diriez-vous de celui-ci ?

On pèse ensemble un paquet de riz et 3 boîtes de raviolis identiques : la balance indique 3500 g. Le paquet de riz pèse 500 g.

Combien pèse une boîte de raviolis ?

Dans bien des cas, la simplification passe par l'utilisation de nombres plus petits, mais ce n'est pas systématique. Des nombres du même ordre de grandeur, mais ronds, peuvent aussi permettre de s'engager dans des procédures de calcul mental conduisant à la solution.

Si vous avez su résoudre le nouveau problème, pouvez-vous maintenant revenir au problème initial ?

 

Multiprésentation.

Il s'agit de proposer aux élèves plusieurs problèmes ayant la même structure mathématique, mais des habillages différents.

Voici un exemple :

On pèse ensemble un paquet de riz et 3 boîtes de raviolis identiques : la balance indique 2785 g. Le paquet de riz pèse 520 g.

Combien pèse une boîte de raviolis ?

 

On met bout à bout une baguette bleue et 3 baguettes rouges identiques : la longueur totale des quatre baguettes est 2785 mm. La baguette bleue mesure 520 mm.

Quelle est la longueur d'une baguette rouge ?

 

La mairie a acheté une bibliothèque et 3 armoires identiques pour l'école : le prix total des quatre meubles est de 2785 €. La bibliothèque coûte 520 €.

Quel est le prix d'une armoire ?

 

Vous trouverez une présentation détaillée de l'utilisation de la multiprésentation dans cet article de la revue Grand N : http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/76/76n4.pdf

Les auteurs y analysent des séances dans lesquelles on propose aux élèves, selon plusieurs modalités, des problèmes en multiprésentation.

Nous pensons que, même si les problèmes ne sont pas fournis d'emblée aux élèves en multiprésentation, proposer a posteriori un ou deux autres problèmes similaires en demandant "est-ce que tu saurais plus facilement répondre à cette question ?" peut aider.

 

Faire en sorte que la réponse donnée puisse être validée matériellement

Si les boîtes de raviolis et une balance sont présentes dans la classe, le contrat est le suivant : quand vous aurez trouvé le poids d'une boîte de raviolis, nous la pèserons pour voir si ce que vous avez trouvé est vrai. Ce simple changement de contrat (il ne s'agit plus de trouver "la bonne opération", de deviner ce que le maître attend ou ce qu'il "faut" faire) permet à certains élèves de se mettre en action. Ce point de vue est développé sur ce site dans deux pages portant sur les problèmes numériques en cycle 2 ici et ici ainsi que dans une page sur les "problèmes de vie courante" et une autre donnant quelques pistes pour éviter que la résolution de problème ne se réduise à de la devinette.

Bien entendu, si on décide d'adopter ce type d'aide, il faudra anticiper et rédiger l'énoncé du problème en fonction du matériel dont on dispose.

Il est plus facile de peser trois livres d'histoire et un livre de mathématiques, puis rédiger le problème en utilisant les valeurs trouvées, que de dénicher des boîtes de raviolis pesant exactement 755 grammes.

 

 

2. Raconter l'histoire autrement.

 

Si aucune action ne vient rapidement à l'esprit des élèves pour résoudre le problème posé, on peut entreprendre avec eux de le reformuler :

— Pour faire 2785 g, il faut mettre sur la balance le riz et aussi les raviolis. Les boîtes de raviolis sont toutes pareilles, il y en a trois…

Ce travail de reformulation insiste sur le fait que c'est la situation qui importe, et non les mots utilisés pour la décrire, mais il arrive que certaines formulations aident à envisager des actions que d'autres formulations n'évoquaient pas du tout. En disant que 2785 g c'est le poids du riz et des raviolis, on met en évidence une situation classique de réunion de deux quantités peut-être un peu moins visible dans l'énoncé initial qui met en avant la présence de trois boîtes.

On trouve actuellement des propositions de reformulation pour le travail sur les problèmes en cycle 2, basées sur la typologie des problèmes additifs de Vergnaud. Ce n'est pas le point de vue que nous défendons ici : nous pensons que cette typologie, même reformulée, est un outil pour les adultes et non un objet d'enseignement pour les élèves. Notre proposition est plus générale : il est fréquent en mathématique que la reformulation d'un problème soit une des clés du succès. Nous montrons par exemple ici aux candidats au CRPE comment la reformulation de l'énoncé d'un problème de démonstration en géométrie peut contribuer à élaborer une solution.

 

3. Les valeurs aberrantes.

 

— Penses-tu qu'une boîte de raviolis pèse un million de grammes ?

— Non, ça ne se peut pas, c'est beaucoup trop

— Est-ce qu'elle pèse 3 000 g ?

— Non, parce que les quatre boîtes ensemble pèsent 2 785 g, et les quatre boîtes, c'est plus lourd qu'une boîte toute seule…

 

Ce court dialogue montre comment la proposition par le maître de valeurs aberrantes peut engager l'élève dans une action, des déductions à partir des données de l'énoncé.

La première réponse qui rejette la possibilité d'une boîte d'un million de grammes est probablement motivée seulement par le fait qu'un million est un grand nombre, sans référence au problème. En revanche la deuxième réponse témoigne déjà d'une réflexion sur les données.

Il arrive parfois que cette mise en action suffise pour que l'élève poursuive ensuite sa recherche de façon autonome. Le plus souvent ce n'est pas le cas.

 

4. Engager des essais

 

Si à la suite du dialogue précédent le maître poursuit par :

— Est-ce qu'elle pèse 1 000 g ?

ou par :

— Est-ce qu'elle pèse 10 g ?

L'élève sera amené à expliquer que ces valeurs ne conviennent pas par des arguments un peu plus précis. Si une boîte de ravioli pèse 1 000 g, les trois boîtes de raviolis dépassent déjà le poids total. Si une boîte de ravioli pèse 10 g, le poids total ne dépasse pas de beaucoup celui du paquet de riz… ce n'est pas assez.

 

On peut alors faire le point de ce qu'on sait : la boîte de ravioli pèse plus que 10 g, mais moins que 1 000 g.

Si on ne sait pas quoi faire d'autre, on peut alors demander explicitement à l'élève de poursuivre une stratégie par essais successifs : c'est très bien, la boîte pèse entre 10 g et 1 000 g, mais ça n'est quand même pas très précis : choisis un poids entre 10 g et 1 000 g, et on verra si c'est le bon.

 

Nous avons dit plus haut qu'il nous semblait souhaitable d'éviter autant que faire se peut de suggérer une méthode particulière. Il peut sembler contradictoire d'inciter un élève à procéder par essais successifs.

Nous ne pensons pas qu'il y ait une réelle contradiction. En effet, suggérer de commencer par calculer le poids des trois boîtes de raviolis engage sur une procédure de résolution unique (on s'attend à ce que l'élève divise ensuite par 3 pour trouver le poids d'une boîte).

En revanche, suggérer de faire des essais laisse encore la place à une assez grande variété de démarches pour atteindre le résultat cherché.

Si par exemple j'essaie 500 g comme poids de la boîte de ravioli je peux :

Calculer le poids des trois boîtes par addition ou par multiplication.

Calculer ensuite le poids total en ajoutant celui de la boîte de riz, ou constater qu'il manque encore plus de 1000 g, ce qui est bien plus que le poids du riz.

Quand on a constaté d'une façon ou d'une autre que 500 g est une valeur trop faible pour le poids d'une boîte de raviolis, on peut évidemment procéder à un nouvel essai à partir d'une valeur plus grande, c'est probablement ce qui se passera.

Cependant, il n'est pas impossible, surtout si les valeurs numériques s'y prêtent, que des raccourcis soient trouvés

Une boîte de ravioli pèse-t-elle 655 g ?

3 x 655 g = 1965 g. 1965 g + 520 g = 2485 g.

Il manque exactement 300 g pour obtenir le poids total exact, il suffit donc d'ajouter 100 g au poids de chaque boîte de raviolis. Une boîte de raviolis pèse 755 g.

Nous ne prétendons évidemment pas que ce type de raisonnement sera fréquent, nous disons seulement que les essais successifs ne constituent pas une procédure fermée. La variété des procédures possibles, des choix à faire, des initiatives à prendre à l'intérieur de la démarche par essais justifie à notre avis qu'on suggère cette démarche aux élèves qui n'en adoptent pas une autre par eux-mêmes.

 

 

5. Suggérer une étape non standard.

 

— Imaginons que je rajoute un autre paquet de riz, le poids total des trois boîtes de raviolis et des deux boîtes de riz est 2785 g + 520 g = 3305 g.

Si je mets ensemble 6 boîtes de raviolis et 2 paquets de riz, c'est le double de ce dont parle l'énoncé, le poids toal est alors 2 x 2785 g, soit 5570 g.

Je résume maintenant dans un tableau les informations dont je dispose (celles de l'énoncé et celles que je viens de trouver).

Nombre de boîtes de raviolis

Nombre de paquets de riz

Poids total en g

3

1

2785

3

2

3305

6

2

5570

Comme dans la démarche par essais successifs, on fournit à l'élève un schéma d'action possible, sans lui fournir une voie unique vers la solution du problème.

Ainsi, à partir des éléments disponibles dans le tableau ci-dessus, on peut par exemple :

avoir l'idée que l'ajout successif de paquets de riz ne fait que compliquer les choses…et qu'il serait peut-être plus judicieux d'en enlever un pour obtenir :

Nombre de boîtes de raviolis

Nombre de paquets de riz

Poids total en g

3

0

2265

remarquer que dans la deuxième et la troisième ligne du premier tableau, il y a autant de paquets de riz. La différence de poids vient donc des boîtes de raviolis supplémentaires. Trois boîtes de raviolis pèsent donc…

ajouter encore un paquet de riz à la situation décrite par la deuxième ligne, et calculer ainsi le poids de 3 boîtes de raviolis et 3 paquets de riz…puis remarquer qu'on peut faire 3 lots identiques d'une boîte de raviolis et un paquet de riz. En divisant par trois la masse totale, on obtient la masse d'une boîte de raviolis et un paquet de riz.

Bien entendu, chacun des ces raisonnements est difficile et il est peu probable que des élèves vraiment en difficulté en viennent à bout seuls. Cependant, un élève qui aura inventé correctement une ou deux lignes supplémentaires du tableau, même mal choisies, de même qu'un élève qui aura effectué quelques essais numériques, même sans aller au bout, n'aura pas rien fait.

On peut espérer que si on lui montre que le cheminement qu'il a engagé pouvait aboutir à la solution cela l'encourage à prendre des initiatives analogues pour d'autres problèmes.

 

 

6. Le classeur de problèmes

 

Si on conserve dans la classe, réunis dans un seul classeur, tous les problèmes résolus depuis le début de l'année (ou pourquoi pas depuis le début du cycle) avec pour chacun d'eux les solutions correctes qui ont été trouvées, on peut proposer à l'élève de consulter le cahier pour voir s'il n'y aurait pas un problème "qui ressemble" dont on pourrait réutiliser le mode de résolution.

Il nous semble que cette approche permet de poser de bonnes questions sur la ressemblance entre deux problèmes.

On peut espérer mettre ainsi en évidence que deux problèmes parlant de boîtes de raviolis ne se ressemblent pas nécessairement du point de vue des mathématiques. En revanche, le fait que les boîtes de raviolis soient toutes identiques est pertinent… avons nous déjà résolu des problèmes dans lesquelles il y avait plusieurs choses identiques réunies ? Comment avons-nous fait ?

 

 

7. Le classeur de schémas

 

De même qu'on peut conserver les problèmes déjà travaillés et leur solution, on peut conserver les schémas qui ont permis de résoudre certains problèmes. Feuilleter ce document amène à se demander si tel ou tel schéma peut ou non représenter correctement la situation étudiée.

 

 

 

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