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Les problèmes de la vie courante, une bonne idée ?

Les programmes de 2008 sont basés, en ce qui concerne la résolution de problèmes, sur deux idées principales :

La progressivité

Résoudre des problèmes simples à une opération (CP)

Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication (CE1)

Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations (CE2)

Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes (CM1)

Résoudre des problèmes de plus en plus complexes (CM2)

 

L'appui sur les problèmes de la vie courante

"Résoudre des problèmes de vie courante" figure comme objectif dès le CP dans la rubrique "grandeurs et mesures" et on trouve les trois extraits suivants dans les programmes du cycle 3.

  • La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.
  • La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées.
  • Les capacités d’organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante ou tirés d’autres enseignements.

Ces deux idées, augmenter progressivement le niveau de difficulté et s'appuyer sur les problèmes de vie courante, semblent relever d'un solide bon sens.

On sait cependant que la difficulté d'un problème ne se résume pas au nombre et à la nature des opérations à effectuer. La progressivité évoquée dans les programmes est illusoire (cf Vergnaud, Brissiaud…). Nous ne développerons pas ici cet aspect.

L'appui sur les "problèmes de la vie courante" ou les "problèmes concrets" (s'agit-il des mêmes problèmes ?) se heurte également à une difficulté sérieuse : les vrais problèmes de la vie courante sont rarement des problèmes simples.

Prenons le temps d'étudier quelques exemples tirés de manuels dont nous tairons les noms.

cadre

Voici deux versions du même problème.

Avec les données dont on dispose, il est plus que probable que la réponse attendue est le périmètre du rectangle.

En ce qui nous concerne, nous ne confierions pas aux auteurs de ces manuels la réalisation d'un cadre.

En effet, voici le genre de cadre que l'on peut réaliser si on dispose d'une baguette dont la longueur est égale au périmètre du rectangle.

cadre3
cadre4

Nous vous encourageons vivement à chercher une réponse à ce problème cohérente avec la situation décrite (il faut pouvoir réaliser un cadre qui ressemble à un cadre) avant de télécharger notre solution.

télécharger notre solution.

La situation est très différente si le problème du cadre est posé de la façon suivante :

cadre5

Chaque élève ou chaque groupe qui cherche le problème dispose d'une feuille de papier de couleur sur laquelle est tracé un rectangle (de 6 cm sur 4 cm sur notre photo).

La classe dispose de quelques rouleaux de papier blanc (par exemple du papier destiné aux calculatrices à imprimante).

La consigne est alors la suivante : vous devez réaliser avec ce papier un cadre autour du rectangle (c'est-à-dire que le rectangle doit être entièrement entouré de papier blanc, sans que le papier blanc déborde sur le rectangle).

Pour cela, vous allez commander la longueur de bande de papier que vous voudrez. Vous devez commander exactement le papier dont vous avez besoin.

Pour réussir, il faudra coller le cadre autour du rectangle (sans superposition) et qu'il ne reste pas de papier inutilisé.

On peut laisser implicite le fait que la largeur de la bande doit être la largeur du cadre… c'est l'interprétation la plus fréquente.

Cette situation n'empêchera pas que certains élèves ou groupes d'élèves commandent une longueur égale au périmètre.

En fabriquant le cadre avec la bande commandée, ils constateront que leur cadre est pour bizarre.

Il faudra certainement un peu de temps pour prendre conscience que la longueur de papier nécessaire dépend de la largeur du rouleau.

Le maître peut évidemment choisir de fournir cette largeur, mais comme son importance n'est pas évidente d'emblée il nous semble préférable d'attendre que la question soit posée par des élèves.

cadre6

Un premier niveau de solution satisfaisante est représenté par les deux réalisations ci-contre.

Le maître peut s'en tenir là.

Il peut aussi relancer le problème en signalant que ces deux solutions utilisent une même longueur de bande alors que la disposition est différente : en plaçant le cadre dans la position ci-contre, tous les assemblages de deux morceaux du cadre sont verticaux dans un cas, horizontaux dans l'autre.

Peut-on économiser de la bande en combinant assemblages horizontaux et verticaux, par exemple comme ça ?

cadre7

La réponse est non : tous les assemblages à angle droit utilisent la même longueur de papier.

Mais cela n'a rien d'évident pour un élève de CM et peut conduire, si le maître le souhaite, à un intéressant travail d'initiation à l'utilisation des lettres pour les calculs :

si on appelle "L" la longueur du rectangle central, "l" sa largeur et "e" la largeur de la bande utilisée, les longueurs nécessaires sont, pour chacun des assemblages ci-dessus :

L + e + e + L + e + e + l + l

L + L + l + e + e + l + e + e

L + e + L + e + l + e + e + l

Voici une belle occasion de découvrir une des fonctions des écritures algébriques.

On constate que les sommes sont égales parce qu'on additionne les mêmes nombres dans les trois cas, mais surtout, l'utilisation des lettres permet d'affirmer que si on refait le travail avec un autre rectangle et une autre bande, la longueur sera encore la même pour tous les découpages.

 

Le maître peut aussi, si l'intérêt de la classe pour le problème se maintient, faire remarquer que les assemblages des vrais cadres ne sont généralement pas faits à angle droit, ce qui relance la recherche de la longueur de bande nécessaire, et permet un travail intéressant sur la façon de partager un angle droit en deux parties égales (pliage d'un carré ou d'un gabarit d'angle droit, utilisation comme gabarit d'un triangle rectangle isocèle…).

 

Nous ne cherchons pas à dire ici qu'il est nécessaire de pousser ce problème dans ses derniers retranchements, mais il nous semble qu'il faut choisir : soit on ne traite pas le problème, soit on prend au sérieux la situation et on va au moins jusqu'aux solutions par assemblage à angles droits photographiées ci-dessus.

Proposer le problème tel qu'il figure dans les manuels en acceptant comme réponse correcte le périmètre du rectangle risque de conduire au paradoxe suivant : les élèves qui se soucient du sens de ce qu'ils font et comprennent la situation sont précisément ceux qui ne trouveront pas la réponse attendue.

Si ce genre de situation se produit souvent, on installe chez les élèves l'idée que les mathématiques sont une matière où il s'agit de faire des calculs n'ayant aucun sens.

pieces

La réponse attendue est probablement que la caissière peut faire dix rouleaux et qu'il restera 5 pièces.

C'est parfaitement vrai si toutes les pièces sont identiques, mais que se passe-t-il par exemple si les 15 pièces restantes après avoir fait 9 rouleaux sont celles-ci ?

Comme pour le problème des cadres, la réponse attendue par le manuel ne peut pas satisfaire un élève qui se demande si le calcul effectué répond vraiment au problème, et l'image des mathématiques qui en découle est désastreuse.

pieces2

Un traitement sérieux du problème pourrait consister à prendre quelques exemples : on demande aux élèves d'inventer un échantillon de 105 pièces de monnaie : 13 pièces de 2 €

18 pièces de 1 €

4 pièces de 50 centimes

23 pièces de 20 centimes

20 pièces de 10 centimes

10 pièces de 5 centimes

5 pièces de 2 centimes

12 pièces de 1 centime

 

On constate alors qu'il est possible de faire 8 rouleaux (un avec des pièces de 2 €…)

Y a-t-il des cas où on peut faire 9 rouleaux ? Des cas où on ne peut en faire que 7 ?

Le problème est intéressant… mais pas simple.

Et encore n'avons-nous soulevé qu'une incohérence : un même rouleau ne peut pas contenir des pièces différentes.

Si on veut vraiment que le problème reflète la pratique commerciale, il faut se renseigner sur le nombre de pièces que comportent les rouleaux normalisés.

Ils regroupent plus de 10 pièces, le nombre de pièces par rouleau n'étant pas le même pour chaque valeur… ce qui rend les choses plus difficiles.

car

La réponse attendue est 2,4 km, mais tout enfant utilisant le ramassage scolaire sait bien que celui-ci ne prend pas toujours le plus court chemin pour aller d'un point à un autre.

Tous les plans ci-dessous peuvent être envisagés et en inventer d'autres qui soient cohérents est une tâche intéressante pour les élèves.

Sur chaque schéma, E représente l'école, A le domicile d'Alice et C le point où Alice prend le car. Le trajet effectué en car est en rouge.

car2

Si on encourage la recherche de dispositions variées : on constatera rapidement qu'il n'y a pas de limite mathématique maximum à la distance parcourue en car : il ne serait certes pas très raisonnable que cette distance soit de 50 km, mais les mathématiques ne l'interdisent pas.

En revanche si la distance parcourue en car était inférieure à 2,4 km, par exemple de 2 km, en parcourant les 300 m qu'Alice fait à pieds puis les 2 km du trajet en car on irait de chez Alice à l'école en parcourant 2,3 km ce qui est incohérent avec le fait qu'Alice habite à 2,7 km de l'école.

En effet (et c'est là un apprentissage important) dire qu'Alice habite à 2,7 km de l'école signifie que 2,7 km est la plus courte distance pour aller de chez Alice à l'école.

La seule conclusion mathématique qu'on puisse tirer est donc qu'Alice parcourt AU MOINS 2,4 km en car, ce qui n'est pas du tout la même chose que d'affirmer qu'elle parcourt 2,4 km.

 

Une fois de plus, prendre au sérieux la réponse attendue discrédite l'activité mathématique.

 

Dans bien des cas, il vaut sans doute mieux utiliser des situations épurées inventées pour la classe comme nous en proposons ici pour le cycle 2, ou bien des situations clairement fictives, telles que le Ziglotron de Cap Maths pour le CP.

Les situations de la vie courante sont très souvent difficiles, elles demandent donc du temps si on les prend au sérieux. Cela implique qu'on ne peut pas utiliser quotidiennement les problèmes de vie quotidienne… et incite à étudier avec attention les situations prétendument de vie courante proposées par les manuels.

La suite de cette page ne propose pas d'autre piste de travail, elle montre seulement un échantillon de problèmes tirés de différents manuels.

Il n'est malheureusement pas difficile de fabriquer un tel échantillon et beaucoup de séries de manuels comportent de problèmes aberrants à divers titres.

À titre indicatif, nous n'en avons pas ou peu trouvé dans les séries suivantes : « Cap Maths » « J'apprends les maths » « Euro maths ».

 

Le florilège qui suit serait tout à fait amusant…si ces absurdités n'avaient aucun impact sur la formation des élèves.

boules

Comme chacun sait, si on lance un cochonnet et deux boules, les trois objets sont toujours alignés.

CaenBayeux

À nouveau un problème d'alignement.

Il se peut que la distance de Caen à Bayeux soit de 27 km, mais ces panneaux permettent seulement de conclure qu'on parcourt 27 km pour aller de Caen à Bayeux en passant par le lieu dessiné…peut-être existe-t-il un trajet plus court.

 

On peut aussi remarquer que si les deux panneaux de l'illustration sont de part et d'autre de la route, le panneau indiquant Bayeux ne peut pas être lu par les automobilistes : ils en voient le dos.

Les morceaux se chevauchent.

La longueur totale n'est pas dix fois la longueur d'un morceau.

De plus, dans la réalité, les morceaux des extrémités sont différents des autres.

metreruban1

Le plus grand nombre de bouquets identiques que peut faire cette fleuriste est 20 (bouquets d'une seule rose).

Si on considère qu'un bouquet doit contenir au moins deux fleurs, c'est 15 (bouquets contenant une rose et une tulipe).

Si on ajoute comme contrainte que toutes les fleurs doivent être utilisée, ce qui n'est pas indiqué mais est probablement attendu, la question est totalement absurde.

Une fleuriste qui s'imposerait une telle contrainte devrait refaire complètement ses bouquets à chaque fois qu'une fleur fane.

Avec 10 oeillets 15 tulipes et 19 roses, elle ne pourrait faire qu'un seul bouquet !

bouquets
banque

Chacun sait que les Euros sont indivisibles, les centimes n'ayant pas été inventés.

Par ailleurs, la somme que donne la grand-mère est-elle celle qu'elle retire à la banque ?

porte

Si monsieur Labricole sait de source sûre qu'une des trois portes mesure exactement 83 cm de large, il peut éliminer les portes A et C.

Dans le cas contraire, il risque fort d'acheter une porte mesurant quelques centimètres de plus ou de moins que ce dont il a besoin.

TGV

Aucune rame TGV existante ne peut accueillir autant de voyageurs.

Par ailleurs, si la SNCF laisse descendre 1985 passagers à Lyon sans accepter que d'autres personnes montent pour occuper les places vacantes, elle ne risque pas de faire des bénéfices.

panier

Les masses indiquées sur les emballages ne tiennent pas compte de l'emballage. En revanche, la masse du filet et celle des différents emballages sont comprises dans la pesée.

Il se peut que ça ne change pas le gagnant du jeu cependant la masse calculée ne correspond pas à la masse mesurée.

telepherique

La réponse attendue n'est correcte que si les passagers des cars sont les seuls à utiliser le téléphérique.

 

Il faut aussi que le premier départ ait lieu à l'instant même de l'arrivée des cars, ce qui est tout à fait impossible.

Une cantine scolaire de 500 rationnaires qui sert un yaourt à chaque rationnaire à chacun des quatre repas servis dans la semaine commande donc ses yaourts pour deux semaines et demie !

De plus, comment savoir qu'il manque 1348 yaourts sans commencer par compter ceux qui sont livrés ?

Yaourts

On s'éloigne certes un peu des problèmes de vie courante… mais la première coupe du monde de foot a eu lieu en 1930, et non en 1938 comme le calcul l'indique.

Personne n'a poussé le mauvais goût jusqu'à organiser une coupe du monde de football en pleine guerre mondiale.

L'existence historique d'un évènement ne se détermine pas par le calcul.

foot
compteur

Quand le compteur indiquera 48 805 km, l'automobiliste fera sans doute le tour du pâté de maisons jusqu'à atteindre le nombre fatidique.

circuit2

Outre que la longueur d'un circuit n'est pas si facile à déterminer (si on mesure sur le rail intérieur on ne trouve pas la même chose que sur le rail extérieur), il n'est pas certain que la longueur soit la somme des longueurs des éléments (il y a généralement des emboitements).

De plus, il n'est pas du tout certain qu'il soit possible de réaliser un circuit fermé avec les pièces indiquées.

stade

Les arrivées des courses d'athlétisme sont jugées à l'extrémité de la ligne droite et non au milieu.

Tout enfant ayant regardé un jour à la télévision une compétition d'athlétisme a remarqué que les coureurs de 200 m partent décalés. Si les coureurs partaient de la ligne C pour arriver à la ligne A, ceux qui courent à l'extérieur auraient une distance plus longue à parcourir.

electricite

Le prix du kilowatt-heure d'électricité est inférieur à 10 centimes d'Euro.

Si le coût de l'éclairage d'une classe pendant une heure est d'environ un Euro, l'éclairage de cette classe consomme donc environ 10 000 W soit 100 ampoules à incandescence de 100 W, ou environ 150 rampes fluorescentes de 60 w… les classes sont bien éclairées.

Par ailleurs, le coût moyen pour une classe ne peut se calculer que si on connait le nombre de classes.

livres1

Ce problème montre une conception assez particulière de la lecture.

En outre, on ne voit pas pourquoi le nombre de pages lues chacun des 13 premiers jours serait le quotient de la division euclidienne.

Pourquoi 13 fois 61 pages et 8 pour finir et pas 13 fois 60 pages puis 21 ou même 13 fois 50 pages puis 151 ?