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Partager des objets

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— Pendant que vous étiez en récréation, j'ai pris une grosse poignée de pointes pour faire de la menuiserie, et je les ai mises dans deux barquettes.

J'ai essayé de mettre autant de pointes dans chaque barquette.

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— Pour savoir si j'ai réussi, je pose les pointes d'une des deux barquettes sur un plateau de la balance, et celles de l'autre barquette de l'autre côté.

La balance est en équilibre, aucun plateau ne descend, ça montre que les deux plateaux sont pareils, j'ai réussi.

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Le maître déplace alors une pointe d'un plateau vers l'autre.

— Si la balance était comme ça, avec un plateau qui descend parce qu'il est plus lourd, j'aurais perdu.

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Et maintenant, c'est à vous de faire le travail, je vous donne un paquet de pointes et deux barquettes, à vous de partager les pointes pour qu'il y en ait autant dans chaque barquette.

— Quand vous aurez terminé, nous poserons les pointes sur la balance pour voir si vous avez réussi.

Précaution d'ordre matériel

Avant de proposer ce problème aux élèves, il faut s'assurer que les objets utilisés sont suffisamment homogènes pour que deux lots du même nombre d'objets aient la même masse.

On évitera par exemple les pièces de Kapla parce que la densité du bois utilisé est variable, la comparaison des masses n'est donc pas une bonne indication de la comparaison des quantités.

Les pièces en plastique moulé (type Duplo) sont généralement plus uniformes, ainsi que la petite quincaillerie (boulons, pointes, rondelles) que l'on peut acheter au poids dans les magasins de bricolage pour un prix bien inférieur à celui des mêmes pièces conditionnées en sachets.

Dans tous les cas, on vérifiera sur plusieurs échantillons, avant de travailler avec les élèves, que les indications de la balance sont conformes à ce que l'on souhaite.

Remarques et indications

L'usage de la balance pour comparer les quantités vise à ce que la procédure de validation n'induise pas une procédure de résolution du problème.

On pourrait vérifier s'il y a autant de pointes en constituant des paires (une pointe d'une barquette avec une pointe de l'autre), en comptant les pointes, ou encore en constituant des lignes de même longueur… mais toutes ces façons de vérifier l'égalité sont aussi des façons de la réaliser.

Avec ces autres modes de validation, montrer comment on valide montre aussi comment le résoudre… ce qui tue le problème.

La balance pourrait aussi être utilisée comme outil pour partager, mais ce n'est pas un outil que les élèves auraient utilisé spontanément pour cela. Imposer de ne l'utiliser qu'après le partage paraitra beaucoup moins arbitraire qu'interdire d'utiliser le dénombrement ou la réalisation de paires pour résoudre le problème.

 

Le travail peut être individuel, chaque élève ayant son lot de pointes, mais il nous semble qu'un travail à deux est intéressant, car il favorise les échanges sur la façon de procéder.

Quand tous les binômes ont effectué leurs partages, on procède aux validations. C'est à ce moment qu'on demandera à chaque binôme comment il a procédé. Il sera plus facile pour les élèves d'expliquer leur procédure par une démonstration commentée que par le discours exclusivement.

Le but n'est pas de parvenir à tout prix à la procédure par dénombrement, il ne s'agit que d'une version possible, d'ailleurs mise en défaut quand les nombres en jeu dépassent les capacités des élèves alors que d'autres procédures restent efficaces. Citons en quelques-unes :

Poser une pointe dans la barquette A, puis une dans la barquette B et recommencer.

Mettre un petit nombre de pointes dans A, puis le même nombre dans B et recommencer.

Grouper les pointes par deux puis mettre une pointe de chaque groupe dans chaque barquette.

Constituer deux lignes de pointes parallèles de même longueur.

Grouper les pointes pour former deux dessins identiques.

 

Variantes :

La principale variable est bien sûr le nombre d'objets à partager.

Au début, on choisira un nombre d'objets dans chaque part facile à dénombrer pour les élèves, ce qui permettra de s'assurer que la pesée donne bien une indication fiable.

Dans les séances suivantes, on fera en sorte que le nombre d'objets dans chaque part soit un peu au-delà de ce que les enfants savent dénombrer, ce qui les obligera soit à étendre leurs capacités de dénombrement, soit à envisager d'autres procédures.

Dans un premier temps, on ne proposera de partager que des nombres pairs d'objets. L'introduction de nombres impairs renouvelle le problème puisqu'il n'est plus toujours possible de partager la totalité des objets proposés. Les utilisateurs de la première procédure décrite ci-dessus devront dans ce cas se souvenir de la barquette qu'ils utilisent en premier.

On peut envisager de répartir les objets dans trois barquettes au lieu de deux, ce qui pose une intéressante question pour la validation. On a constaté par la pesée que les contenus des barquettes A et B sont identiques ainsi que ceux des barquettes A et C, est-il nécessaire de comparer les contenus de B et de C ?

 

 

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