Trois techniques de soustraction

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La soustraction est une opération difficile.

Son sens est difficile à acquérir, du moins si l'on est exigeant : la soustraction a - b ne permet pas seulement de trouver ce qui reste quand on enlève b à a, mais aussi ce qu'il faut ajouter à b pour obtenir a.

Cette page ne traite pas de la construction du sens de la soustraction. Sur ce sujet, je ne saurais trop vous recommander la lecture du livre du maître de la collection « J'apprends les maths », niveau CE1.

Nous présentons seulement ici les trois façons classiques d'effectuer la soustraction posée, en insistant sur la difficulté majeure : la retenue.

Première méthode

De 4 unités, je ne peux pas enlever 7 unités.

J'ajoute donc 10 unités à 324 (sous la forme du « 1» placé devant le chiffre 4).

Pour compenser, j'ajoute également 10 au nombre 167 (sous la forme « +1 » à côté du chiffre 6).

Une variante catastrophique de cette méthode est présentée ci-contre.

Le 1 placé devant le 4 doit être interprété comme formant avec lui le nombre 14.

Le 1 placé devant le 6 doit être interprété comme un élément d'une somme : on doit lire 1 + 6 et non 16.

La confusion introduite par une même notation pour désigner deux choses différentes peut facilement être évitée en s'en tenant à la première version.

Cependant, même la première version est difficile à comprendre.

En effet, l'idée que la différence de deux nombres ne change pas si on ajoute la même quantité à chacun des deux nombres est loin d'être évidente.

Quand on demande à des adultes d'effectuer en calcul mental 1342 - 998, on rencontre très rarement la procédure suivante : 1342 - 998, c'est autant que 1344 - 1000 (on a ajouté 2 à chacun des nombres), c'est donc 344.

Cette procédure utilise pourtant la propriété mathématique qui fonde la technique de soustraction qu'emploient beaucoup d'adultes (parce qu'elle a longtemps été pratiquement la seule enseignée en France). Il est normal qu’en automatisant une technique on oublie ce qui la justifie, mais le fait que peu d’adultes mobilisent cette propriété est un indice de sa difficulté.

C'est là le principal écueil de cette première méthode de soustraction. Il y a de grands risques qu'elle soit vue comme une boîte noire : un truc qui fournit le résultat attendu sans qu'on sache pourquoi.

L'usage des boîtes noires n'est pas exclu, on peut parfois apprendre à faire quelque chose et ne comprendre que plus tard pourquoi on procède ainsi. Dans le domaine mathématique, il vaut tout de même mieux que les boîtes noires soient rares.

D'une part, on retient et utilise mieux ce qu’on comprend, d’autre part la compréhension des propriétés des nombres et des opérations est aussi importante que les techniques opératoires. Renoncer systématiquement à comprendre ce qui fonde les techniques utilisées reviendrait à renoncer aux mathématiques.

Nous faisons ici une proposition de démarche pour faire comprendre la propriété « quand on ajoute la même chose à deux nombres, ça ne change pas leur différence ».

Deuxième méthode

De 4 unités, je ne peux pas enlever 7 unités.

Je me procure donc des unités en cassant une des deux dizaines de 324.

324 est maintenant décomposé en trois centaines une dizaine et quatorze unités.

À l'étape suivante, on procédera de la même façon en cassant une des trois centaines afin de la transformer en dizaines.

Le principe de cette méthode est facile pour peu que la compréhension de l'écriture des nombres dans le système décimal usuel soit solide.

Aucune propriété de la soustraction n'est nécessaire, on utilise que les connaissances suivantes :

Dans 324, il y a 3 centaines 2 dizaines et 4 unités. Une centaine c'est 10 dizaines (et une dizaine c'est 10 unités). La connaissance entre parenthèses en est à peine une si on se débarrasse du jargon technique. Il est évident qu' un paquet de 10 objets contient 10 objets, il n'est pas évident qu' un paquet de 100 objets c'est autant que 10 paquets de 10. Cependant, cette méthode présente une difficulté d'organisation et d'écriture dès que le premier nombre de la soustraction comporte un ou plusieurs zéros aux rangs intermédiaires.

Imaginons par exemple un élève de CE2 cherchant à poser 3005 - 1538 à l'aide de cette méthode.

De 5 unités, je ne peux pas enlever 8 unités.

Je me procure donc des unités en cassant une dizaine… mais il n'y a pas de dizaine !

Je me procure donc des dizaines en cassant une centaine… mais il n'y a pas de centaine !

Je me procure donc des centaines en cassant un millier.

J'obtiens alors 2 milliers et 10 centaines, je peux maintenant casser une des centaines pour la transformer en dizaines.

J'ai alors 9 centaines et 10 dizaines, je peux casser une des dizaines pour la transformer en unités.

Nous avons volontairement grossi le trait en choisissant un nombre à quatre chiffres avec deux zéros aux rangs intermédiaires, mais même pour calculer 305 - 167, la longueur du discours et le foisonnement de l'écriture nous paraissent rédhibitoires.

Quelques manuels de CE1 dont nous tairons le nom ne proposent aucune soustraction dont le premier nombre comporte un zéro au rang des dizaines… ça ne nous semble pas très scrupuleux.

Il est possible d'alléger discours et écritures en procédant comme suit :

De 5 unités, je ne peux pas enlever 7 unités.

Je me procure donc des unités en cassant une dizaine.

Or 305, c'est 3 centaines et 5 unités, mais c'est aussi 30 dizaines et 5 unités.

Si je transforme une de ces dizaines en unités, j'obtiens 29 dizaines et 10 unités.

De 5 unités, je ne peux pas enlever 8 unités.

Je me procure donc des unités en cassant une dizaine.

Or 3005, c'est 3 milliers et 5 unités, mais c'est aussi 300 dizaines et 5 unités.

Si je transforme une de ces dizaines en unités, j'obtiens 299 dizaines et 10 unités.

Cette nouvelle façon de faire allège le discours et les écritures, mais demande une compréhension du système décimal beaucoup plus subtile que précédemment.

De ce fait, l'avantage de simplicité de cette méthode sur la méthode française traditionnelle exposée en premier n'est peut-être pas aussi décisif qu'il peut sembler au premier abord.

La partie cycle 2 de ce site, comporte une suite de quatre pages, "les nombres à trois chiffres au CE1" qui décrivent une façon de travailler cette compréhension du système décimal.

Troisième méthode

On s'appuie sur l'idée que la soustraction 324 - 167 ne permet pas seulement de calculer ce qui reste quand on enlève 167 objets d'un lot de 324.

Elle répond aussi à la question « que faut-il ajouter à 167 pour obtenir 324 ? »

Le calcul va donc s'effectuer comme une addition à trou, en s'appuyant sur la technique de l'addition posée en colonne et sur le discours associé.

Dans un premier temps, la soustraction se posera donc comme indiqué ci-contre :

Pour l'effectuer, on tient un discours qui ressemble à ceci :

7 plus quelque chose égal 4, c'est impossible, mais 7 plus 7 font 14, le 4 des unités est déjà écrit, mais j'écris la retenue de 1.

6, plus 1 de retenue, font 7. 7 plus quelque chose égal 2 c'est impossible, mais 7 plus 5 font 12, le 2 est déjà écrit et je retiens 1.

1 plus 1 de retenue font 2, pour obtenir 3 il faut ajouter 1.

Certains préfèrent dire les choses ainsi :

7 pour aller à 4 c'est impossible, mais de 7 pour aller à 14 il faut ajouter 7.

Cette formulation a, par rapport à la précédente, l'avantage de faire énoncer en dernier le chiffre sept que l'on doit écrire, mais l'inconvénient de s'éloigner de la description usuelle de l'addition sur laquelle on cherche à s'appuyer. Le choix entre ces deux variantes ne nous semble pas essentiel.

On pourrait envisager de s'en tenir là, la présentation sous forme d'addition à trou permet d'effectuer n'importe quelle soustraction.

Des arguments d'ordre pragmatique et non mathématique nous semblent pourtant imposer d'apprendre effectuer la soustraction sous sa forme usuelle :

• Les élèves rencontreront des soustractions posées, il faut qu'ils puissent s'y adapter.
• La présentation usuelle rassurera les familles : ouf, ils ont vu la soustraction.
• La technique de division euclidienne nécessite plusieurs soustractions successives. Si on effectue les soustractions sous la forme d'une addition à trou, le résultat n'étant pas écrit sur la dernière ligne, l'enchaînement de plusieurs soustractions est pratiquement impossible. Il faut alors poser les soustractions à côté de la division et non à l'intérieur, ce qui alourdit considérablement l'écriture d'une division.

C'est pourquoi il nous semble nécessaire de s'entraîner à écrire la soustraction sous la forme présentée à droite, tout en continuant à la décrire en s'appuyant sur l'addition à trou.

7 plus quelque chose égal 4, c'est impossible, mais 7 plus 7 font 14, le 4 des unités est déjà écrit, mais j'écris la retenue de 1.

6, plus 1 de retenue, font 7. 7 plus quelque chose égal 2 c'est impossible, mais 7 plus 5 font 12, le 2 est déjà écrit et je retiens 1.

1 plus 1 de retenue font 2, pour obtenir 3 il faut ajouter 1.

Que choisir ?

Il n'existe pas de méthode de soustraction simple. La soustraction est une opération difficile, tant par sa signification que par sa technique.

Chacune des trois méthodes proposées ici s'appuie sur une idée difficile :

• Pour la première méthode, le fait que la différence entre deux nombres ne change pas si on ajoute la même chose à chacun des deux nombres.
• Pour la deuxième méthode, une connaissance fine du système décimal permettant de voir 300 dizaines dans 3007.
• Pour la troisième méthode, une connaissance solide des deux sens de la soustraction : recherche du reste et recherche du complément.

Il convient de se poser les deux questions suivantes :

• Parmi ces trois idées, quelle est celle que je me sens le mieux capable de faire comprendre à mes élèves ? Nous ne pouvons évidemment donner aucun avis sur cette question.
• Quelle importance ont ces trois idées dans le parcours mathématique de nos élèves ? Pour beaucoup d'élèves, aucune de ces idées n'est solidement installée avant l'enseignement de la soustraction. Plutôt que comme un prérequis, on peut considérer l'idée liée à la méthode choisie comme un élément constitutif de cette méthode, qui ne peut que sortir renforcé de l'enseignement de la soustraction. Ce point de vue privilégie la deuxième ou la troisième méthode, car la bonne compréhension du système décimal et des deux sens de la soustraction est à notre avis plus importante que la propriété de conservation des écarts.

Insistons sur la nécessité de choisir : enseigner plusieurs techniques en laissant aux élèves le choix serait une perte de temps et une illusion. Cela diviserait par trois le temps consacré à chacune des méthodes… et fragiliserait leur acquisition. Pour choisir en connaissance de cause entre plusieurs méthodes, il faudrait les avoir toutes comprises. Sans oublier qu'on risquerait ainsi d'introduire des mélanges et des confusions entre les méthodes.

En revanche, si on reçoit en CM2 des élèves ayant appris des techniques diverses, il n'y a aucune raison d'imposer un changement de méthode à ceux qui réussissent.

La variété des méthodes dans une même classe est alors un enrichissement, elle donne l'occasion de revenir sur ce qui fonde les diverses techniques.

C'est aussi, pour un élève en difficulté avec sa technique de soustraction habituelle, l'occasion d'en changer.