Mise en équation
Le plus souvent, les candidats au CRPE ont le choix de la méthode pour résoudre les problèmes qui leur sont posés. Il arrive cependant parfois que le sujet impose une "méthode algébrique", ce qui revient à dire qu'il faut traduire l'énoncé du problème par une ou plusieurs équations.
Il arrive aussi, sans que le sujet n'impose rien, que la méthode algébrique soit tout simplement pratique et efficace.
Cette page développe à l'aide de quelques exemples l'idée suivante :
Quand on a peu l'habitude d'utiliser l'algèbre, l'utilisation de lettres pour désigner les nombres peut géner l'intuition et rendre difficile une bonne compréhension du problème.
Faire un essai avec des nombres écrits en chiffres permet à la fois de mieux comprendre le problème et de le traduire facilement par une équation.
Premier exemple :
Paul a 5 fois l'âge de son fils. Dans 8 ans, Paul aura le triple de l'âge de son fils.
Quel âge a Paul ?
Choisissons au hasard un âge pour Paul, et faisons les calculs nécessaires pour savoir si cet âge est le bon :
Supposons que l'âge de Paul est 50 ans
alors l'âge de son fils est 50 : 5
Dans 8 ans, l'âge de Paul sera 50 + 8
Dans 8 ans l' âge du fils de Paul sera 50 : 5 + 8
L'âge choisi au départ n'est pas le bon, car
50 + 8 n'est pas le triple de 50 : 5 + 8
Ce qu'on a fait avec le nombre 50, on pourrait aussi bien le faire avec 30, 48 ou 45. Remplacer les nombres écrits en chiffres par une lettre permet en quelque sorte de faire en une seule fois tous ces essais.
Il suffit pour ça de remplacer le nombre 50 de l'essai par une lettre (on utilise souvent ) et de recopier les étapes que l'on a écrites avec 50.
On obtient ceci :
Supposons que l'âge de Paul est ans
alors l'âge de son fils est : 5
Dans 8 ans, l'âge de Paul sera + 8
Dans 8 ans l' âge du fils de Paul sera : 5 + 8
L'âge de Paul est le bon dans le cas où
- 8 est le triple de : 5 + 8
L'usage est de ne pas détailler toutes ces étapes, une présentation possible de la mise en équation du problème est la suivante :
Soit l'âge de Paul, on a alors :
Pour que la méthode de l'essai numérique permette facilement d'obtenir l'équation, il est important de s'imposer un contrainte un peu inhabituelle. Voici une nouvelle version de l'essai numérique qui ne respecte pas cette contrainte :
Supposons que l'âge de Paul est 50 ans
alors l'âge de son fils est 10 ans
Dans 8 ans, l'âge de Paul sera 58 ans
Dans 8 ans l' âge du fils de Paul sera 18 ans
L'âge choisi au départ n'est pas le bon, car
58 n'est pas le triple de 18
Comme à chaque étape on écrit le résultat du calcul et non l'opération, pour écrire l'équation à partir de cette version il faut refaire les raisonnements en utilisant la lettre … c'est précisément ce qu'on veut éviter. Avec la première version, il suffisait recopier en remplaçant 50 par , en se fiant aux raisonnements faits à l'aide de 50. Deuxième exemple :
On dispose de deux rectangles. Pour chaque rectangle, la longueur est supérieure de 8 cm à la largeur.
La largeur du grand rectangle est supérieure de 15 cm à celle du petit rectangle.
Le périmètre du plus grand des deux rectangles est le triple du périmètre du petit.
Calculer les dimensions des deux rectangles.
Supposons que le petit rectangle a une largeur (mesurée en cm) de 5
Sa longueur est alors 5 + 8 et son périmètre est 5 + 5 + 8 + 5 + 5 + 8, ou 4 x 5 + 16
La largeur du grand rectangle 5 + 15, sa longueur est 5 + 23
Son périmètre peut s'écrire (en simplifiant un peu) 4 x 5 + 76
5 n'est pas la bonne valeur parce que 4 x 5 + 76 n'est pas le triple de 4 x 5 + 16
En remplaçant le nombre 5 de l'essai précédent par et en recopiant les étapes, on obtient une traduction du problème par une équation :
Soit la largeur en cm du petit rectangle, on a alors :
Troisième exemple.
Deux robinets permettent de remplir une même cuve.
Si on ouvre seulement le premier robinet, il faut 15 minutes pour remplir la cuve.
Si on ouvre seulement le deuxième robinet, il faut 25 minutes pour remplir la cuve.
Si on ouvre simultanément les deux robinets, en combien de temps la cuve se remplit-elle ?
Supposons que les robinets soient ouverts pendant 10 minutes :
Le premier robinet remplit1/15 de la cuve en une minute donc 10/15 de la cuve en 10 minutes.
le second rpbinet remplit 10/25 de la cuve en 10 minutes.
La durée de 10 minutes n'est pas celle qui convient parce que 10/15 de la cuve plus 10/25 de la cuve, ça ne fait pas la cuve entière. 10/15 + 10/25 ≠ 1
En recopiant les étapes de l'essai numérique, mais en utilisant comme nombre de minutes à la place de 10, on obtient une mise en équation du problème :
Soit la durée en minutes du remplissage,
on a :
D'autres exemples sur un document téléchargeable