Résoudre une équation

Résoudre une équation

Les personnes les plus réfractaires aux équations raisonnent fréquemment en « passant de l'autre côté » des éléments figurant dans l'équation.

Cette page a pour but de montrer pourquoi cette façon de raisonner n'est pas adéquate… et de proposer quelques alternatives.

La balance

Voici une situation qui serait très facile à traduire par une équation.

Si l'on désigne par m la masse en gramme d'un des verres (tous identiques), l'équilibre de la balance conduit à :

3 m + 50 = m + 700

Personne n'imaginera en pensant à la situation concrète que si on déplace un des verres sur l'autre plateau de la balance l'équilibre sera conservé…

faisons tout de même l'expérience.

Comme prévu, si on change un verre de plateau, il n'y a plus d'équilibre.

On n'obtient pas plus l'équilibre si, après être revenu à la situation initiale, on décide de changer de plateau la masse marquée de 50 grammes.

Mais enfin, diront les adeptes du passage de l'autre côté, tout le monde sait bien qu'il faut changer de signe…

Peut-être, mais continuons un instant à raisonner sur des objets avant de revenir aux équations, on ne voit pas bien quelle signification on pourrait donner au changement de signe d'un verre.

En revanche, il est facile d'imaginer que si les verres sont tous identiques, enlever un verre dans chacun des deux plateaux ne modifiera pas l'équilibre.

Faisons-le :

Youpi, ça marche.

Si on décrit par une égalité cette nouvelle situation d'équilibre, on obtient :

2 m + 50 = 700

Bien entendu les adeptes du changement de côté effectuent souvent correctement le passage de 3 m + 50 = m + 700 à 2 m + 50 = 700 mais comme ils le font à l'aide d'une règle mystérieuse parce qu'elle n'a pas de fondement, ils sont souvent mis en difficulté quand les équations sont un peu plus complexes.

C'est pourquoi nous proposons de remplacer la formulation :

« Pour résoudre une équation, je passe des choses de l'autre côté en changeant leur signe »

par :

« Si on applique la même opération à deux nombres égaux, les résultats sont égaux ».

Ainsi, dans notre exemple initial, les nombres 2 m + 50 et 700 sont égaux.

Ils le resteront si on ajoute 9 à chacun d'entre eux : 2 m + 59 = 709

Ils le resteront si on divise chacun d'eux par trois : (2 m + 50 )/3 = 700/3

Ils le resteront si on multiplie chacun d'eux par onze : 22 m + 550 = 7700

Ils le resteront si on soustrait le nombre m à chacun d'entre eux : m + 50 = 700-m

Aucune des égalités précédentes n'est particulièrement judicieuse si on cherche à résoudre l'équation 2 m + 50 = 700 car elles sont plutôt plus compliquées que l'équation initiale.

Ceci a tout de même un avantage montrer que la règle de base que nous rappelons : « Si on applique la même opération à deux nombres égaux, les résultats sont égaux » ne donne aucune indication sur ce qu'il convient de faire pour résoudre une équation : parmi toutes les transformations valides obtenues en appliquant la même opération à chacun des deux nombres égaux, laquelle choisir ?

Si on revient une dernière fois aux objets matériels, on voit bien qu'à partir de cette situation d'équilibre, on peut obtenir celle qui suit en ajoutant 500 grammes sur chaque plateau…

ce qui ne rend pas les choses plus simples.

De la même façon, en revenant aux écritures mathématiques, l'enchaînement

2 m + 50 = 700 donc 2 m + 550 = 1200

est correct, mais sans intérêt, car il complique plutôt les choses.

En revanche, l'enchaînement

2 m + 50 = 700 donc 2 m = 650

est correct et prometteur, car il conduit à une écriture plus simple.

La vision "balance de Roberval" n'évite pas toutes les difficultés.

En particulier, elle ne soutient pas du tout l'intuition quand interviennent des nombres négatifs.

Comment par exemple imaginer l'équilibre d'une balance pour représenter ceci ?

3 - 5x = -2 (x - 8)

C'est pourquoi nous avons formulé une règle portant sur les nombres, sans référence à l'idée de balance : "Si on applique la même opération à deux nombres égaux, les résultats sont égaux".

D'autre part, l'idée de la balance ou la règle ci-dessus ne suffisent pas à éviter les erreurs liées à une mauvaise interprétation des nombres intervenant dans l'équation.

2 m + 50 = 400 donc m + 25 = 200

2 (m + 50) = 300 donc 2 m = 200

2 m - 50 = 150 donc 2 m -100 = 100

Chacun des enchaînements ci-dessus est correct : dans le premier exemple on a divisé par deux le nombre de gauche et celui de droite, dans le deuxième exemple on a soustrait 100 à chacun des deux nombres, dans le troisième exemple, on a soustrait 50 a chacun des deux nombres.

Ces exemples visent à insister sur le fait que c'est à la valeur des nombres plus qu'à l'apparence graphique qu'il faut s'intéresser : 100 est plus grand que 50, mais 2m - 100 est plus petit que 2m - 50, en transformant 2m - 50 en 2m - 100, on fait bien diminuer le nombre (de 50).

Autrement dit, même si on a compris le principe de base, on ne peut résoudre correctement des équations que si on interprète correctement les écritures numériques et littérales (parenthèses, priorités, fractions…).

Certaines difficultés avec les équations ne proviennent pas des équations elles-mêmes, mais de l'interprétation des nombres en jeu.

Par ailleurs, notre règle ne dit rien sur un problème de première importance du point de vue pratique : on peut appliquer n'importe quelle opération aux deux nombres de l'égalité…mais comment choisir ?

2 (m + 50) = 300 donc 4 (m + 50) = 600 est parfaitement correct (on a doublé les deux membres de l'égalité), mais sans intérêt, car l'égalité obtenue n'est pas plus simple que la précédente.

Si on accepte de raisonner en pensant que les deux nombres égaux sont modifiés de la même façon, le cheminement mental conduisant à écrire une nouvelle étape peut ressembler à ceci :

Je n'aime vraiment pas qu'il y ait des fractions à trainer dans les équations, je préfèrerais nettement avoir x plutôt que x/2…

…si je me contente d'écrire x à la place de x/2, le nombre de gauche ne sera pas doublé (le double de 3 + 10, c'est 6 + 20 et non 3 + 20)…

… je décide donc d'écrire "6+x" à gauche, ce qui revient à doubler le nombre de gauche…

…pour que le nombre écrit à gauche reste égal à celui de droite, il faut que je double aussi celui de droite…

…une façon de doubler la valeur du nombre de droite est de remplacer 5 paquets par 10 paquets (le double de 5 paquets de 12 bonbons, c'est ou 5 paquets de 24 bonbons, ou 10 paquets de 12 bonbons, mais pas 10 paquets de 24 bonbons).

La méthode du pouce

Cacher une partie d'un des deux nombres figurant dans l'équation et se demander par quoi il faudrait remplacer la partie cachée pour que l'égalité soit vraie est parfois très efficace.

Pour que l'égalité soit vraie, il faut que la partie cachée soit égale à 2x (que faut-il soustraire à 3x pour obtenir x ?).

Si on compare l'équation entière de la première photo et celle en partie masquée de la deuxième photo, il est alors manifeste que 5 et 2x, c'est la même chose.

On peut donc écrire directement comme étape suivante 2x = 5

En cachant le numérateur de la fraction figurant dans cette équation, on voit facilement qu'il ne peut valoir que 15

On peut donc écrire comme étape suivante

3x + 7 = 15

Limites de la méthode du pouce.

Comme toutes les méthodes, elle suppose une interprétation correcte des expressions figurant dans l'équation (priorités, fractions…).

Par exemple, dans l'équation

12 - x + 5 = 10

il serait absurde de cacher la partie "x+5" car le signe "moins" ne s'applique qu'au nombre x, pas à l'expression "x+5"

Mais la méthode du pouce souffre d'un autre défaut à cause duquel elle n'est jamais enseignée dans les collèges : elle permet de trouver une valeur qui convient ce qui est très bien dans les équations qui n'ont qu'une solution, mais elle est trompeuse dans les équations qui ont plusieurs solutions.

Il est clair que si on remplace par 5 la partie cachée par le pouce (l'intérieur de la parenthèse), l'égalité sera vraie, donc en écrivant x-5 = 5 on obtiendra une solution… mais pas toutes les solutions.

Cette limite est considérée par beaucoup d'enseignants comme rédhibitoire, cependant la méthode du pouce reste parfaitement correcte pour les équations du premier degré (celles qu'on rencontre au CRPE) dont on sait par avance qu'elles ont une solution unique.

Qu'est-ce qui doit être vrai quand on résout une équation ?

Pour finir, revenons brièvement sur un conseil que nous avons donné dans une page plus générale sur le calcul : bannir la question "ai-je le droit de…?" et la remplacer par "est-il vrai que …?" Concernant les équations, ce conseil peut sembler paradoxal ou du moins difficile à appliquer.

En effet, que peut-on espérer en se demandant s'il est vrai que 3 - 5x = -2 (x - 8) ?

Cette égalité est fausse dans beaucoup de cas, vraie pour une valeur particulière de x… qu'on ne connaîtra que quand l'équation sera résolue… la question de la vérité ne semble pas très pertinente ici.

Elle l'est pourtant à condition de l'appliquer au bon objet.

Il y a quelques années, dans l'enseignement secondaire, on présentait ainsi une étape de résolution d'une équation :

L'usage du signe d'équivalence entre deux égalités a depuis disparu pour des raisons en partie justifiées liées à un excès de formalisme.

Cependant, ce signe permettait de mieux voir sur quoi portait la question de la vérité : est-il vrai que les expressions de gauche et de droite sont équivalentes, autrement dit est-il vrai qu'elles disent la même chose, que quand l'une des deux est vraie l'autre l'est aussi ?

La suppression du signe d'équivalence n'a donc pas que des avantages : le lien entre les égalités successives étant caché, les transformations mécaniques non fondées sur le sens (typiquement, "je passe de l'autre côté) semblent plus facilement légitimes.

Exemples d'équations à résoudre (difficiles)