Les droites parallèles

Les droites parallèles.

Dans certains manuels, dans certaines classes peut-être, le travail sur les droites parallèles consiste essentiellement à apprendre le procédé de tracé ci-dessous, ou un procédé voisin, ou encore des procédés analogues destinés à reconnaître que des droites sont parallèles.

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Je place un côté de mon équerre sur la première droite.

Je trace une droite en suivant l'autre côté de mon équerre.

Je place un côté de mon équerre sur la droite que je viens de tracer.

L'autre côté de mon équerre forme alors une droite parallèle à la première droite.

Cette façon de décrire le tracé de parallèles ne manque pas d'inconvénients

Il s'agit d'une succession d'étapes dont chacune n'a par elle même aucun signification parce qu'on décrit des gestes, et non le résultat mathématique qu'on veut atteindre. L'équerre est utilisée comme référence (et non l'angle droit) or l'équerre est un objet complexe : elle a trois côtés mais deux seulement sont utiles, elle comporte souvent une graduation qui n'est pas pertinente pour tracer des perpendiculaires. Parler de "côtés de l'angle droit de l'équerre" à la place de "côtés de l'équerre" serait plus exact mais rendrait les formulation encore plus absconses.

On cherche à tracer des droites parallèles, mais des droites parallèles, qu'est-ce que c'est ?

La description de la méthode de tracé dépend de l'idée qu'on se fait des droites parallèles, c'est cette idée qu'il faut travailler en premier.

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Nous proposons d'utiliser la "définition" suivante :

Des droites parallèles, c'est ce qu'on obtient en prolongeant deux côtés opposés d'un rectangle ou d'un carré.

Sur chacun des trois dessins, les deux droites bleues sont parallèles.

Remarquons qu'il s'agit d'un retournement par rapport aux mathématiques savantes dans lesquelles les rectangles sont définis à partir des notions de parallèles et de perpendiculaires (un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits, ou bien un parallélogramme ayant un angle droit). Mais les élèves de l'école primaire reconnaissent les rectangles dès la maternelle, alors que l'idée de parallèles leur est encore étrangère. Il semble normal d'expliquer les nouveautés en s'appuyant sur ce qui est connu…

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Deux droites parallèles peuvent servir de côtés opposés à beaucoup de rectangles, pas seulement à celui qu'on a utilisé pour les tracer.

Si on colorie beaucoup de ces rectangles, on obtient une grande bande de couleur.

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Deux droites parallèles, ce sont les deux bords d'une grande bande, ou d'un grand ruban bien droit.

Si la bande est assez mince, et si on dessine une partie assez longue de chaque droite, on voit facilement qu'elles sont parallèles, même si la bande est effacée.

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Si la bande est large et qu'on dessine une toute petite partie de chaque droite, c'est très difficile de voir si les droites sont parallèles.

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En montrant la bande, ou en allongeant la partie des droites qui est dessinée, on voit mieux.

Dans cette perspective, pour juger si des droites sont parallèles, ou pour tracer deux droites parallèles, il faut utiliser des bandes ou un un rectangle, ce qui ne conduit pas nécessairement à la construction classique :

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L'idée de bande conduit plutôt à l'utilisation du guide âne.

Sur la photo ci-contre, on l'utilise pour tracer des parallèles, mais il peut aussi servir à juger si deux droites sont parallèles.

L'idée de rectangle conduit à plusieurs méthodes.

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Première méthode :

Puisqu'on veut obtenir un rectangle, pourquoi ne pas utiliser un objet rectangulaire tel qu'une boîte, une règle ou un gabarit de rectangle en carton ?

Dans la pratique, cette méthode n'est pas très commode, car on ne dispose pas toujours d'un objet dont une dimension correspond à l'écartement dont on a besoin.

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On revient alors au guide âne (un seul objet permet d'obtenir une grande variété d'écartements), ou bien on utilise les outils classiques de géométrie pour construire un rectangle

Deuxième méthode :

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On a tracé deux côtés du rectangle, ils ont la même longueur et sont tous les deux perpendiculaires à la première droite.

Troisième méthode :

Il s'agit de la construction classique, les gestes à accomplir sont les mêmes que dans la version montrée au début de cette page, mais la description en est très différente : les gestes sont finalisés par le projet d'obtenir un rectangle.

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J'imagine qu'il y a un côté de rectangle sur la première droite, je trace un deuxième côté du rectangle en formant un angle droit.

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Je trace le troisième côté du rectangle en formant un autre angle droit.

Il est probable qu'au début beaucoup d'élèves complèteront le rectangle. Ne les en dissuadons pas trop vite. Tracer le rectangle complet n'est pas nécessaire, mais cela renforce probablement l'image mentale que ces élèves se font des droites parallèles.

La tâche consistant à vérifier si deux droites sont parallèles s'effectue dans le même esprit : on essaie de tracer un rectangle entre les deux droites, par exemple en traçant deux perpendiculaires à l'une des droites, et on vérifie ensuite si le quadrilatère obtenu a bien tous les caractères du rectangle (les autres angles sont-ils droits? les côtés opposés ont-ils la même longueur ?)

Notons au passage que cette tâche de vérification avec les outils n'a de sens que si les droites semblent perpendiculaires à vue d'œil… dans le cas contraire, la question est réglée, inutile de sortir les instruments.

Quand on juge que l'idée de droites parallèles est bien comprise et associée aux côtés opposés du rectangle, il est intéressant d'élargir la conception que les élèves se font du parallélisme en explorant de nouvelles façons de tracer des parallèles.

Nous en proposons ici quelques unes à expérimenter avec les élèves.