Placer des nombres décimaux sur une droite graduée

Quelques indications pour un oral de CRPE portant sur la compétence :

Placer des nombres décimaux sur une droite graduée (CM1)

On peut être surpris que cette compétence vienne avant "Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1" qui relève du CM2.

En effet, si les décimaux ont été introduits à partir des fractions, l'écriture 2,3 a été introduite comme une nouvelle façon de désigner 2 + 3/10. Il est donc assez difficile d'imaginer qu'on n'a pas eu l'occasion auparavant de transformer 23/10 en 2 + 3/10.

Contrairement aux textes précédents (de 2002) les textes officiels de 2008 ne disent pas explicitement que les nombres décimaux sont introduits à partir des fractions. Nous pensons cependant que cela reste pertinent, car l'alternative la plus fréquente (introduire les décimaux à partir de la mesure) présente une simplicité apparente et trompeuse qui contribue à renforcer toutes les erreurs classiques sur les nombres décimaux.

Si 3,52 mètres est introduit comme un codage de 3 m et 52 cm, il est normal de penser que :

1 m et 4 cm se code 1,4 m donc que 1,4 + 3,52 = 4,56 (on additionne les mètres d'une part les centimètres de l'autre). 1,4 < 1,13 puisqu'on interprète ces nombres comme signifiant "1 mètre, 4 centimètres" et "1 mètre, 13 centimètres"

Par ailleurs, il semble difficile de séparer la compétence qui fait l'objet de cette page des autres connaissances et compétences citées pour le CM1 :

• Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème).

• Savoir :

les repérer, les placer sur une droite graduée,

les comparer, les ranger,

les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,

passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.

En effet, toutes ces compétences sont très proches :

la valeur de chacun des chiffres se déduit du fait que l'écriture à virgule 2,54 est un codage de 2 + 5/10 + 4/100, le placement sur une droite graduée suppose a minima de savoir encadrer un décimal par deux entiers consécutifs, placer les nombres sur une droite graduée est une des façons de les comparer ou de les ranger… Nous conseillons donc de proposer plusieurs périodes de travail sur les décimaux dans l'année. Dans chacune de ces périodes, l'utilisation de la droite graduée sera une des approches utilisées.

Cela n'empêche pas de détailler ensuite seulement ce qui se rapporte à la droite graduée.

On pensera à proposer aux élèves les deux tâches : placer des nombres sur une droite et trouver le nombre représenté par un point de la droite (est-ce cette deuxième tâche que le texte officiel appelle "repérer" un nombre décimal ?).

placerdesdecimaux
L'illustration ci-contre propose (uniquement dans le sens écrire le nombre correspondant au point donné) un échantillon d'exemples de difficulté variée.

Il peut être convenu avec les élèves que dans ces exercices, quand un point est placé à l'intérieur d'un intervalle, c'est toujours au milieu.

Les principales difficultés apparaissent quand un intervalle n'est pas partagé en 10 parties mais en 5 ou 20, et quand un zéro est nécessaire au rang des dixièmes.

Bien que nous ayons dit qu'à notre avis, le placement sur la droite graduée ne peut pas se traiter indépendamment des autres compétences concernant les nombres décimaux, le repérage diffère toutefois de la mesure.

Pour placer 3,42 il suffit de chercher 3,4 et 3,5 (deux nombres qui se suivent dans l'échelle des nombres à un chiffre après la virgule) de vérifier qu'il existe une graduation plus fine qui partage l'intervalle [3,4 3,5] en dix parties égales et de choisir le deuxième repère de cette graduation.

La situation est analogue à celle que rencontrent les élèves de cycle 2 qui apprennent l'utilisation de la règle graduée.

Ces élèves de cycle 2 doivent comprendre que quand on dit "ce trait mesure 5 cm", cela signifie avant tout qu'il est long comme 5 petits segments unités (les centimètres) mis bout à bout. Si on place une extrémité du segment en face du zéro de la règle, l'autre sera en face du 5. Cette astuce fait de la règle graduée un outil génial qui évite de compter les centimètres un à un (très pratique quand il y en a 137) mais ne change pas la signification de la mesure de longueur.

Dans le cas du placement des décimaux sur une droite graduée, la vision décrite ci-dessus (entre 3,4 et 3,5 on obtient la graduation des centièmes en partageant l'intervalle en dix parties égales) est efficace, mais ne fait pas vraiment appel au fait que 3,42 c'est 3 + 4/10 + 2/100.

C'est une des raisons pour lesquelles il ne nous semble pas judicieux de construire une séquence uniquement sur la compétence titre : on risque de laisser croire aux élèves que cette question n'a rien à voir avec les autres chapitres concernant les décimaux. En traitant simultanément tous les aspects des décimaux, on fournit des occasions de construire des passerelles entre les différents aspects.

Toutefois, le lien entre mesure de longueur et repérage n'est pas aussi facile à organiser que dans le cas de la mesure en centimètres à la règle : il est facile de placer bout à bout 5 morceaux d'allumette d'un centimètre, en revanche pour construire la longueur correspondant à 3 + 4/10 + 2/100, le choix de l'unité est problématique. Si on veut que les centièmes soient suffisamment grands pour être manipulé, les unités ne tiendront pas sur une table d'élève ordinaire.

C'est pourquoi nous pensons utile, avant de placer des décimaux sur une droite graduée, d'y placer des fractions dont les dénominateurs sont de petits nombres (de 2 à 6). Le nombre de parts dans chaque unité étant petit, il est possible de travailler conjointement sur la mesure et le repérage, l'un des deux aspects servant à valider l'autre. Cela conduit à travailler dès le CM1 la compétence "écrire une fraction sous forme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1".