Problème : pas trois points alignés

La scène se déroule dans une classe de cycle trois, plutôt en cours moyen qu'en CE2.

—Aujourd'hui, nous allons chercher ensemble à résoudre un problème qui s'appelle "pas trois points alignés. Vous allez avoir des grilles comme celle que j'ai dessinée au tableau. Les vôtres seront plus petites évidemment.

grille1 Voici le problème : il faut placer le plus possible de points sur cette grille en respectant deux règles.

Les points sont placés sur les intersections de la grille. Il ne doit pas y avoir trois points alignés.

Pour être sûr que tout le monde comprend bien ce qu'il faut faire, nous allons commencer par quelques exemples au tableau avant que je vous distribue vos grilles.

—Est-ce que j'ai le droit de placer des points comme ça ?

—Oui, non, non, oui, oui, non…

—Je vous rappelle qu'en mathématiques, ce n'est pas celui qui crie le plus fort qui a raison…qui veut expliquer pourquoi il pense qu'on a le droit de placer les points comme ça, ou alors qu'on n'a pas le droit … Hugo ?

—Ben, il y a des points, ils sont pas sur les croisements alors on peut pas.

—Et oui, Hugo a raison, la règle numéro 1 dit que les points doivent être sur les intersections, les intersections, ce sont les endroits où les lignes se croisent. Il y a trois points que j'ai bien placé sur les intersections et deux autres que j'ai mal placés.

—Puis c'est pas des points que tu as faits, c'est des croix.

grille4
—Tu as raison, Hélène, mais on a déjà fait ça il y a quelques jours : si on dessine un point le plus petit et le plus précis possible, on ne le voit presque pas, alors on dessine une croix qu'on voit beaucoup mieux, mais c'est l'endroit ou les deux branches de la croix se coupent qui compte.

croix
Le maître dessine une croix au tableau avec cette légende :

—Tu t'en souviendras Nathalie ? Bon, je vous montre un autre exemple…

grille3 —Je vous rappelle qu'il ne faudra pas répondre à haute voix, mais lever la main pour demander la parole… est-ce que j'ai le droit de placer des points comme ça ?

Noémie, qu'en penses-tu ?

—Oui, tu peux les mettre comme ça, ils sont bien sur les intersections.

—Tu es d'accord Laura ?

— Oui, enfin non enfin les points ils sont bien sur les intersections, mais la règle numéro 2 dit qu'il ne faut pas trois points alignés et là il y en a trois, alors ça ne va pas.

—Très bien Laura. Tout le monde a vu les trois points qui sont alignés ? Viens nous les montrer Laura pour qu'on soit bien sûrs d'être tous d'accord.

—Et maintenant, toujours en demandant la parole… est-ce que j'ai le droit de placer des points comme ça ? Lionel ?

—Non t'as pas le droit parce qu'il y a trois points alignés sur une ligne horizontale, et puis aussi trois sur une verticale.

—Hassan, tu n'es pas d'accord ?

—Si, enfin pas vraiment, je suis d'accord qu'il y a trois points sur une même ligne, mais ça compte pas parce qu'ils se touchent pas.

—Ah tu as bien raison de faire remarquer ça Hassan, parce que j'avais oublié de vous dire quelque chose de très important, écoutez bien. Je sais que dans la classe vous êtes plusieurs à aimer jouer à puissance 4, et quand on joue à puissance 4, on a gagné si on fait une ligne de 4 pions qui se touchent, mais en mathématique ce n'est pas pareil, on dit que les points sont alignés dés qu'ils sont sur une même ligne droite, même s'ils sont très loin les uns des autres.

grille5 Le maître trace à la règle une ligne droite traversant presque tout le tableau et écrit cette légende :

ligne
—Qu'est-ce qu'il y a Laura ?

—Je ne suis pas d'accord, tes trois points ils ne sont pas alignés parce que la droite elle est penchée, pour faire des points alignés, il faut qu'elle soit plate.

—Je te remercie Laura, mais tu te trompes, quand on dit que des points sont alignés, ça veut seulement dire qu'on peut tracer une ligne droite qui passe par ces points, la ligne droite peut être penchée ou pas, ça n'a aucune importance. Je vous montre un dernier exemple, puis ce sera à vous de chercher.

grille6 —Est-ce que j'ai le droit de placer des points comme ça… Leila ?

—Non, tu n'as pas le droit, parce qu'il y a trois points aligné.

—Non, non, ben si…

—On se rappelle que ce n'est pas celui qui crie le plus fort qui a raison, Leila, vient nous montrer les points qui sont alignés selon toi, et ensuite quelqu'un qui n'est pas d'accord viendra nous expliquer pourquoi.

—Je peux prendre ma règle ?

—Bien sûr, mais si tu veux montrer avec une règle, je crois que tu ferais mieux d'utiliser celle du tableau, la tienne risque d'être un peu petite.

grille7 —Si je mets la règle comme ça, elle passe par les trois points alors ils sont alignés, et on n'a pas le droit.

—Parmi ceux qui ne sont pas d'accord avec Leila, qui veut venir expliquer pourquoi ?

—……………………………

—Plus personne ? je crois bien que vous auriez du réfléchir 5 secondes avant de crier non, car Leila a parfaitement raison, ces trois points sont alignés, je n'ai pas le droit de les placer comme ça.

—Voilà, je vous donne une feuille chacun. Sur votre feuille il y a douze grilles parce qu'on ne réussit pas du premier coup à placer beaucoup de points. Quand vous avez fini un essai, vous en faites un autre sur les autres grilles de la feuille. Chacun cherche de son côté, mais on n'a le droit de s'aider, ce n'est pas un concours, nous allons essayer ensemble de trouver une grille qui respecte les règles et avec le plus possible de points. Vous avez environ 15 minutes puis nous nous arrêterons pour faire le point.

Pendant que les élèves cherchent, le maître circule, encourage les plus timorés à se lancer dans les essais, signale aux optimistes quelques alignements oubliés, sans les signaler systémtiquement tous. Les alignements du type suivant, qui n'a pas été traité lors de la phase collective, passent généralement inaperçus :

grille8 —Bien, le quart d'heure de recherche est écoulé, vous posez vos crayons s'il vous plait, que je vous explique la suite du travail…

…Je vais vous donner une grand grille par table de 4, sur cette grande grille, vous recopierez la meilleure disposition de points qui a été trouvée dans votre groupe. Je dis bien recopier, ça veut dire qu'on n'en cherche pas de nouvelle pour l'instant. Si un d'entre vous a réussi a placer 30 points en respectant les règles, c'est sa disposition qu'on recopie. Si personne n'a fait plus que 15, on recopie la disposition avec 15 points, et si le plus qui a été réussi c'est 12 points, on recopie 12 points, ça doit aller assez vite. Dès que c'est recopié, vous me donner votre feuille et je les affiche au tableau.

Peu après, les productions suivantes sont affichées :

grilles Après un débat au cours duquel le maître rappelle autant que nécessaire ce que signifie "aligné" en mathématiques, la classe se met d'accord sur le fait que certaines des grilles proposées ne sont pas valables car elles présentent des alignements de 3 points :

grilles2
—Alors, qui peut me dire ce que nous avons trouvé ? Jules ?

—On a trouvé que le plus de croix possible en suivant les règles, c'est 8.

—Tout le monde est d'accord ?

—Oui, oui…

—Et bien pas moi, je ne suis pas d'accord, vous avez réussi à placer 8 points, mais je ne suis pas sûr que c'est le plus possible. Peut-être qu'en cherchant plus longtemps, ou en confiant le problème à des gens plus savants quelqu'un réussirait à placer plus que 9 points. S'il y en a dans la classe qui ont encore du courage pour chercher ce problème, ils peuvent continuer quand ils ont un petit moment libre.

En tout cas je trouve que vous avez fait bien attention. Vous avez oublié quelques alignements qui ne sont pas faciles à voir, mais vous avez bien compris ce que veut dire "aligné" quand on est en mathématiques. Quelqu'un peut me redire pour finir ce que ça signifie, aligné, en mathématiques ? Oui, Cécile…

—On dit que c'est aligné quand c'est tout droit, on peut mettre la règle sur les trois points, c'est pas grave si les points sont loins ou si la règle elle est penchée.

—C'est ça, des points alignés, ça veut dire qu'on peut faire passer une ligne droite par tous ces points.

vers le problème suivant

Télécharger les grilles Pour ceux qui veulent approfondir