Tracer des droites parallèles
Tracer des droites parallèles : des méthodes à explorer.
Les méthodes du mécano.
Du carton et des punaises, des œillets ou des attaches parisiennes, font également l'affaire…
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On a fabriqué un rectangle ou un carré en mécano.
On peut se servir des côtés opposés pour tracer des parallèles.
Si l'outil se déforme et n'a plus d'angles droits, il peut encore servir à tracer des parallèles !
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On peut aussi fabriquer un outil qui n'a que deux côtés parallèles…
mais s'il se déforme, ça ne va plus du tout.
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En faisant attention à utiliser le centre des trous, si deux extrémités sont placées sur une droite, les deux autres extrémités permettent d'obtenir une parallèle à cette droite.
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Ca marche encore.
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Ca ne marche plus… comment faut-il assembler les tiges pour que ça marche ?
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Et maintenant, est-ce que ça marche ?
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Et maintenant ?
Les méthodes de l'angle en carton.
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Avec deux gabarits identiques :
Si on remplace les gabarits par deux angles égaux de deux équerres, on obtient aussi des parallèles, mais c'est peut-être plus difficile à voir.
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Si on a un seul gabarit, il faut tracer un côté avant de le déplacer :
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En faisant glisser le gabarit le long d'une règle.
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Les méthodes du papier quadrillé.
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En faisant glisser de la même façon plusieurs points de la première droite, on obtient plusieurs points de sa parallèle.
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En cherchant un escalier régulier qui relie des points de la première droite.
On fabrique des points de la droite parallèle en dessinant un escalier dont les marches ont la même taille que pour la première droite.
Une méthode avec plusieurs règles :
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Si l'épaisseur d'une règle n'est pas suffisante, on peut en mettre plusieurs côte à côte.
Certains enseignants refusent cette méthode jugée trop primitive.
Pourtant, elle préfigure en acte le théorème "Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles" de la même façon que la construction classique à l'équerre préfigure le théorème "Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles".
Pour éviter d'avoir à utiliser plusieurs règles, ce qui n'est pas très pratique du point de vue de la manipulation, on peut fournir un réseau de droites parallèles tracées sur un support transparent, c'est le "guide-ânes".
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Si un des bords du guide-ânes est lui même parallèle aux autres droites, on peut s'en servir pour tracer.
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Sinon, on commence par marquer les deux extrémités d'une des lignes figurant sur le guide-ânes.
La méthode de la rosace :
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En plaçant les extrémités de deux rayons sur la première droite et en marquant les extrémités de deux autres rayons, on obtient deux points d'une droite parallèle…
encore faut-il bien choisir les rayons.
Deux modèles de rosaces
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La même méthode peut être utilisée avec un rapporteur, mais les graduations risquent de perturber plus que d'aider.
La méthode du glisseur.
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Le glisseur est une forme en carton ayant un côté rectiligne que l'on peut faire glisser le long de la première droite.
On marque sur le bord du glisseur et sur la feuille.
On utilise ensuite la marque du glisseur pour placer un deuxième point sur la feuille.
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On peut aussi faire un trou dans le glisseur et marquer plusieurs positions du trou.
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Si le glisseur est un gabarit d'angle et qu'un de ses côtés est gradué, inutile d'écrire dessus ou de le percer.
Si on dispose de deux glisseurs du même modèle, on peut directement placer une règle pour tracer la parallèle.
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Si les deux glisseurs sont superposables seulement après retournement, obtient-on encore une parallèle ?
Glisseurs gradués.
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Et si le glisseur était tout bêtement une équerre graduée ?
Les deux points placés sur les photos ne sont pas situés à 4 cm de la première droite, mais ils sont situés à la même distance de cette droite, ce qui permet d'obtenir une parallèle.
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La méthode du rouleau.
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On place un objet cylindrique le long de la première droite, on le fait rouler puis on l'utilise pour tracer la parallèle. (placer une règle contre le cylindre avant de tracer améliore la précision, surtout si le diamètre du cylindre est grand).
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On trouve dans le commerce des règles à rouleau qui utilisent ce principe.
Une méthode au compas
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On trace deux arcs de cercle de même rayon, les centres étant sur la première droite.
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On place la règle pour qu'elle "frôle" les deux cercles.
Cette méthode pose un cas de conscience : les parallèles obtenues sont précises, toute vérification avec les autres outils dont on dispose conduira à dire que les droites sont effectivement parallèles, cependant, contrairement à la méthode classique, elle ne traduit aucun théorème de géométrie et est donc fausse du point de vue de l'enseignement secondaire…est-ce une raison suffisante pour la rejeter ?
Les méthodes classiques de tracé au compas ne sont pas évoquées ici et il nous semble qu'on peut sans aucun problème les garder pour le collège. Remarquons tout de même que les méthodes au compas qui utilisent la construction d'un parallélogramme sont préfigurées par certaines méthodes du mécano.